[latex] 19^{8^7} [/latex] Найдите последние три цифры числа

 Три последние цифры ,  если рассматривать задачу как нахождение остатка , то  это задача на нахождения остатка    на[latex]1000[/latex].   [latex]19^{8^7}\equiv abc \ mod(1000)[/latex]   Удобно воспользоватся теоремой Эйлера, для упрощения числа.   [latex]\phi(1000)=\phi(5^3*2^3)=100*4=400[/latex]   То есть   [latex]19^{400}\equiv 1 \ mod (1000)[/latex]  Сама теорема, если [latex]a,m[/latex] простые числа то   [latex]a^{\phi(m)}\equiv1[/latex] [latex] mod \ m [/latex] .   [latex] \phi(m)[/latex] функция Эйлера .    Теперь найдем остатком от     [latex] \frac{8^7}{400}=\frac{2^{17}}{25}[/latex]   то есть     [latex]2^{17}\equiv x mod(25)\\ x=22 [/latex]     то есть сам остаток равен    [latex] 22*16=352[/latex]   , итого получаем    что число       [latex]8^7=(400*x+352)\\ 19^{400x+352}=19^{400x}*19^{352}[/latex]       Так как      [latex] 19^{400}\equiv 1 mod 1000[/latex]      То  задача эквивалента нахождению остатка  от число   [latex]19^{352}=x mod 1000[/latex]      [latex]\frac{19^{350}*19^2}{2^3*5^3}[/latex]    число   [latex]19[/latex]  всегда оканчивается на  [latex]1[/latex]   учтем ,     используя опять теореме Эйлера получим     [latex] 19^{350}\equiv=1\\ mod 1000\\ [/latex] ,    тогда сам остаток равен     [latex] 19^2=361[/latex]         Ответ [latex]361[/latex]         

для начала посчитаем показатель степени [latex]8^{7} =2097152[/latex] последние три цифры в числе повторяются всегда при увеличении показателя степени на 10. Поэтому достаточно показатель степени разделить на 10 и посмотреть остаток. 2097152:10 в остатке получим 2. Т.е. последние 3 цифры у числа[latex]19^{8^7} [/latex] будут такими же что и у числа [latex] 19^{2} =361[/latex] Ответ: 361