[latex] 4^{x} ( \sqrt{ 16^{1-x}-1 } +2) меньше 4/ 4^{x} -1/[/latex]Объясните, КАК решить: /.../ - имеется в виду, что данное выражение стоит под знаком модуля. Главное, как работать с модулем? P.S. в ответе должно получиться 2 ...

[latex]4^x( \sqrt{16^{1-x}-1}+2)=4|4^x-1| [/latex] Отметим ОДЗ:[latex]16^{1-x}-1 \geq 0 \\ x \leq 1[/latex] Воспользуемся свойством степеней [latex]4^x( \sqrt{4^{2(1-x)}-1}+2)=4|4^x-1| [/latex] Произведем замену переменных  Пусть [latex]4^x=a \,\,\,(a>0)[/latex], тогда получаем [latex]a((16a^{-2}-1)^{ \frac{1}{2} }+2)=4|a-1|[/latex] Воспользуемся определением абсолютной величины [latex] \left \{ {{a>0\Rightarrow |a|=a} \atop {a<0\Rightarrow |a|=-a}} \right. [/latex] Если [latex]a-1 \geq 0[/latex], то [latex]a((16a^{-2}-1)^{ \frac{1}{2} }+2)=4(a-1) \\ \sqrt{a^2(16a^{-2}-1)}=2a-4[/latex] Возведем оба части до квадрата [latex]a^2(16 \frac{1}{a^2}-1 )=(2a-4)^2 \\ 16-a^2=4a^2-16a+16 \\ 5a^2-16a=0 \\ a(5a-16)=0 \\ a_1=0\,\,\,\,\, a_2= \frac{16}{5} [/latex] а=0 - не удовлетворяет условию при a-1>0 Возвращаемся к замене [latex]4^x= \frac{16}{5} \\ x=\log_4 \frac{16}{5} =2-\log_4 5[/latex] При a-1<0, уравнение корней не имеет. Полученное решение отметим на промежутке ___+___(2-\log_4 5)____-___[1] Ответ: [latex]x \in (2-\log_4 5;1].[/latex]