[latex] \frac{1}{4x^2}+ \frac{1}{x}+a=0[/latex] Найти все значения параметра а , при которых уравнение имеет только один корень. В ответ записать наибольшее значение a.

[latex]\frac{1}{4x^2}+ \frac{1}{x}+a=0 \\\ \frac{1+4x+4ax^2}{4x^2}=0[/latex] Запишем, что [latex]x \neq 0[/latex] и перейдем к следующему уравнению: [latex]1+4x+4ax^2=0[/latex] Если [latex]a=0[/latex], то получим линейное уравнение: [latex]1+4x=0 \\\ x=- \frac{1}{4} [/latex] В этом случае получаем единственный корень, значит значение [latex]a=0[/latex] удовлетворяет заданному условию. Если [latex]a \neq 0[/latex], то получаем квадратное уравнение, наличие решений у которого зависит от дискриминанта: [latex]4ax^2+4x+1=0 \\\ D_1=2^2-4a\cdot1=4-4a[/latex] Возможны две версии: 1) при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень, подходящий по ОДЗ; 2) при положительном дискриминанте уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, а следовательно не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения. При подстановке предполагаемого корня 0 в уравнение получим неверное равенство [latex]1=0[/latex], значит остается единственный вариант: приравнять дискриминант к нулю и проверить, будет ли уравнение в этом случае иметь единственный корень: [latex]4-4a=0 \\\ a=1[/latex] Уравнение принимает вид: [latex]4x^2+4x+1=0 \\\ (2x+1)^2=0 \\\ 2x+1=0 \\\ x=- \frac{1}{2} [/latex] Значит значение [latex]a=1[/latex] также удовлетворяет заданному условию. В итоге получаем: [latex]a\in\{0;1\}[/latex], тогда [latex]a_{max}=1[/latex] Ответ: 1