[latex]\frac{1}{1*2} + \frac{1}{2*3} + \frac{1}{3*4} + ... + \frac{1}{n*(n+1)}[/latex]

Выведем сумму рекурентным способом , то есть для начало примем [latex]n=1\\ [/latex] тогда сумма запишется в виде  [latex] \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}= \frac{2}{n(n+2)}(1)\\ \frac{2}{n(n+2)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}= \frac{3}{n(n+3)}(2)\\ \frac{3}{n(n+3)}+\frac{1}{(n+3)(n+4)}=\frac{4}{n(n+4)}(3)[/latex] теперь заметим что числитель и знаменатель взаимосвязаны соотношением  Пусть [latex]z[/latex] это конечная сумма , то есть какое то определенное число    то в  общем  в виде можно записать сумму как  [latex]S_{n}=\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}.....+ \frac{1}{(n+z)(n+z+1)}\\ S_{n}=\frac{z+1}{n(n+z+1)}[/latex] [latex] S_{n}=\frac{n}{n+1}[/latex]