[latex]sin 3x-2sin18xsinx=3 \sqrt{2}-cos3x+2cosx [/latex]

Ох... Ну что ж, раз никто не решился, давайте я попробую. Представляем уравнение в равносильном виде sin 3x + cos 3x = 3√2 + 2(sin 18x · sin x + cos x). Воспользуемся дважды неравенством Коши – Буняковского (a1b1 + a2b2)2 ≤ (a12 + a22)(b12 + b22). Тогда (sin 3x + cos 3x)2 ≤ (12 + 12)(sin2 3x + cos2 3x) = 2, (sin 18x · sin x + cos x)2 ≤ (sin2 18x + 12)(sin2 x + cos2 x) ≤ 2. Следовательно, sin 3x + cos 3x ≤ √2 и sin 18x · sin x + cos x ≥ -√2. Если принять во внимание уравнение  sin 3x + cos 3x = 3√2 + 2(sin 18x · sin x + cos x), заметим, что равенство в нем может достигаться лишь в том случае, когда обе его части равны √2. Таким образом, получаем систему уравнений sin 3x + cos 3x = √2, sin 18x · sin x + cos x = -√2. Так как -1 ≤ sin 18x ≤ 1 и -√2 ≤ sin x + cos x ≤ √2, то равенство sin 18x · sin x + cos x = -√2 имеет место лишь в том случае, когда  sin 18x = 1 и sin x + cos x = -√2 или  sin 18x = -1 и sin x – cos x = √2. Следовательно, из системы уравнений получаем совокупность двух систем уравнений: sin 3x + cos 3x = √2, sin 18x = 1, sin x + cos x = -√2. Или sin 3x + cos 3x = √2, sin 18x = -1, sin x – cos x = √2. Она равносильна более простой совокупности систем уравнений: sin (3x + п/4) = 1, sin 18x = 1, sin (x + п/4) = -1 или sin (3x + п/4) = 1, sin 18x = -1, sin (x – п/4) = 1. Решая уравнения каждой системы данной совокупности, получаем: x = п/12 · (8n + 1), x = п/36 · (4m + 1), x = п/4 · (8k – 3)или{x = п/12 · (8n + 1), x = п/36 · (4m – 1), x = п/4 · (8k + 3),где n, m, k – целые числа. Теперь необходимо построить пересечение множеств решений каждого из уравнений систем совокупности. Рассмотрим первую систему уравнений совокупности. Пусть п/12 · (8n + 1) = п/36 · (4m + 1).  Тогда 3 · (8n + 1) = 4m + 1 и 12n + 1 = 2m. Так как для произвольных целых n и m левая часть равенства 12n + 1 = 2m является нечетной, а правая его часть – четной, то данная система уравнений является несовместной. Рассмотрим вторую систему уравнений совокупности. Пусть п/12 · (8n + 1) = п/36 · (4m – 1). Отсюда 3 · (8n + 1) = 4m – 1 и 6n + 1 = m.  Тогда х = п/36 · (4m – 1) = п/36 · (4 · (6n + 1) – 1) = п/12 · (8n + 1). Далее построим пересечение с множеством решений третьего уравнения, т.е. пусть п/12 · (8n + 1) = п/4 · (8k + 3). Отсюда получаем 8n + 1 = 3 · (8k + 3) и n = 3k + 1. Тогда результатом пересечения множеств решений всех трех уравнений второй системы уравнений совокупности является х = п/12 · (8n + 1) = п/12 · (8 · (3k + 1) + 1) = п/4 · (8k + 3), где k – целое число. И, наконец, ответ: п/4 · (8k + 3), где k – целое число.

Я чувствую что это задача решается так   [latex]sin3x-2sin18xsinx=3\sqrt{2}-cos3x+2cosx\\\\ sin3x+cos3x=3\sqrt{2}+2cosx+2sin18xsinx\\\\ [/latex]  Рассмотрим функцию   [latex]f(x)=sin3x+cos3x\\ f'(x)=3cos3x-3sin3x\\ f'(x)=0\\ cos3x=sin3x\\ x=\frac{\pi\*n}{3}-\frac{3\pi}{4} \\ [/latex]  Откуда максимальное значение   [latex]f(x)_{max}=\sqrt{2}[/latex].   Найдем теперь минимальное значение функций    [latex]y=2cosx+2sin18xsinx\\ y'=2cosx*sin18x+36sinx*cos18x-2sinx\\ y'=0\\ cosx*sin18x+18sinx*cos18x-sinx=0\\ [/latex]  Теперь  не будем ее решать , и просто подставим значения  [latex]x=\frac{3\pi}{4}[/latex]   и получим что  производная принимает         [latex] 0[/latex] .   более того  в этой точки она принимает минимальное значение   равной [latex]-2\sqrt{2}[/latex] что верно   откуда  [latex] \sqrt{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}[/latex]   То есть верно    Ответ   [latex]x=\frac{3\pi}{4}+2\pi\*n[/latex]