[latex]\sqrt{x} + \sqrt{x-4}=\sqrt{a}[/latex] - найти наименшее значение а при котором уравнение имеет ровно 2 корня

Запомнив, что [latex]a\ge x\ge4[/latex] перепишем уравнение как [latex]\sqrt{x-4}=\sqrt{a}-\sqrt{x}[/latex] и возведем в квадрат: [latex]x-4=a+x-2\sqrt{ax}\\ 2\sqrt{ax}=a+4\\ 4ax=(a+4)^2\\ x=\dfrac{(a+4)^2}{4a}[/latex] Последний переход справедлив, так как a!=0. Проверим условие a>=x: [latex]\dfrac{(a+4)^2}{4a}\le a\\ 4a^2\ge(a+4)^2\\ 2a\ge a+4[/latex] Неравенство, как и следовало ожидать, выполняется при всех a>=4.   Итак, уравнение имеет ровно 1 корень при a>=4, равный (a+4)^2/4a.    Ответ. Такого а не существует.