Методом математической индукции по n ∈ N доказать

[latex] \frac{1}{2!}+ \frac{2}{3!}+...+ \frac{n}{(n+1)!}=1- \frac{1}{(n+1)!} [/latex] Докажем равенство методом математической индукции: 1) Проверим справедливость равенства для n=1 [latex] \frac{1}{(1+1)!}= \frac{1}{2!}=1- \frac{1}{2} [/latex] Равентство справедливо 2) Предположим что равенство справедливо для n=k докажем справедливость равенства для n=k+1 [latex] (\frac{1}{2!}+ \frac{2}{3!}+...+ \frac{k}{(k+1)!})+ \frac{k+1}{(k+2)!}= 1- \frac{1}{(k+1)!}+ \frac{k+1}{(k+2)!}= [/latex] [latex]= \frac{(k+1)!-1}{(k+1)!}+ \frac{k+1}{(k+2)!}= \frac{((k+1)!-1)*(k+2)+(k+1)}{(k+2)!}= \frac{(k+2)!-k-2+k+1}{(k+2)!}= [/latex] [latex]= \frac{(k+2)!-1}{(k+2)!}=1- \frac{1}{(k+2)!} [/latex] т.к. равенство справедливо для n=k+1 Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.