Можно ли разбить числа 1,2,3,..., 13 на три группы так, чтобы ни в какой из групп не нашлось каких трёх чисел, что сумма двух из них равна третьему.

Выпишем все числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Попробуем построить группу, в которой ни одно число не равно сумме двух других, и чтобы в ней было как можно больше чисел. Берем 1, 2. Число 3 нельзя, берем 4. 1, 2, 4. Теперь 5 и 6 нельзя, берем 7. 1, 2, 4, 7. Теперь 8, 9 и 11 нельзя, а 10 можно. 1, 2, 4, 7, 10, теперь 11 и 12 нельзя, осталось 13. Первая группа: 1, 2, 4, 7, 10, 13. Вторую группу начинаем с 3, 5, 6. Числа 8, 9 и 11 нельзя, 12 можно. Вторая группа: 3, 5, 6, 12 Третья группа: 8, 9, 11 Всё!