Можно тут решать как 1/x^2? [latex] \int\limits { \frac{1}{(x^2+y^2+2x+1)^2 } \, dx [/latex]

Поскольку не задана зависимость у=f(x) и интегрирование производится по dx то переменная у принимается как константа. [latex]\int\limits{ \frac{1}{(x^2+y^2+2x+1)^2} } \, dx= \int\limits{ \frac{1}{((x^2+2x+1)+y^2)^2} } \, dx=\int\limits{ \frac{1}{((x+1)^2+y^2)^2} } \, d(x+1)=[/latex][latex]\int\limits{ \frac{1}{y^4( \frac{(x+1)^2}{y^2}+1)^2} } \, d(x+1)= \frac{1}{y^3} \int\limits{ \frac{1}{( \frac{(x+1)^2}{y^2}+1)^2} } \, d(\frac{x+1}{y}) [/latex] Замена переменных  [latex]\frac{x+1}{y} =tgt[/latex] Следовательно [latex]d(tgt)= \frac{dt}{cos^2t} [/latex] [latex] \frac{1}{y^3} \int\limits{ \frac{1}{( \frac{(x+1)^2}{y^2}+1)^2} } \, d(\frac{x+1}{y})= \frac{1}{y^3} \int\limits{ \frac{1}{( tg^2t+1)^2} } \, d(tgt)=\frac{1}{y^3} \int\limits{ \frac{cos^4t}{cos^2t} } \, dt=[/latex][latex]\frac{1}{y^3} \int\limits{ cos^2t \, dt=\frac{1}{y^3} \int\limits{ \frac{cos2t+1}{2} \, dt=\frac{1}{2y^3}(\int\limits{ cos2t \, dt+\int\limits{ \, dt)=[/latex][latex]\frac{1}{2y^3}( \frac{1}{2}sin2t+t)+C=\frac{sin2t+2t}{4y^3}+C[/latex] Обратная замена переменных для этого применяем универсальную тригонометрическую подстановку [latex]sinx= \frac{2t}{1+t^[latex]где [latex]t=tg \frac{x}{2} [/latex] В нашем случае необходимо заменить sin2t   [latex]sin2t = \frac{2tgt}{1+tg^2t}= \frac{2 \frac{x+1}{y} }{1+( \frac{x+1}{y} )^2}= \frac{2y(x+1)}{y^2+(x+1)^2} [/latex] Подставляем полученное выражение [latex]\frac{sin2t+2t}{4y^3}+C= \frac{ \frac{2y(x+1)}{y^2+(x+1)^2}+arctg( \frac{x+1}{y} ) } {4y^3}+C [/latex] Можно дальше упрощать, но думаю не имеет смысла