На доске выписаны числа 1,2,3,....,10. За ход пару чисел (a,b) заменяют на число 3ab+a+b. Каким может быть последнее оставшееся число?

Пусть на доске в какой-то момент написаны числа a₁, a₂, ..., aₓ (всего x чисел). Будем следить за значением произведения (1 + 3a₁)(1 + 3a₂)...(1 + 3aₓ). Заметим, что значение этого произведения при указанной операции не меняется: скобки, не содержащие a и b, останутся на месте, а (1 + 3a)(1 + 3b) = 1 + 3a + 3b + 9ab заменится на 1 + 3(a + b + 3ab). Исходно это произведение равно (1 + 3)(1 + 6)(1 + 9)...(1 + 30) = 528 271 744 000, а когда осталось единственное число x, оно равно 1 + 3x. Поскольку произведение не изменилось, то 1 + 3x = 528 271 744 000 3x = 528 271 743 999 x = 176 090 581 333 Ответ. 176 090 581 333.