На гиперболе 9х² - 16у² = 144 найти точки, расстояние которых от левого фокуса вдвое меньше, чем от правого.

каноническое уравнение гиперболы [latex]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/latex] Очевидно, что для нашего случая [latex]a=4; b=3;[/latex] Фокусное расстояние находим из соотношения [latex]c^2=a^2+b^2[/latex] Очевидно, что [latex]c=5[/latex] Теперь осталось найти точки, расстояние от которых до (5;0) в два раза больше, чем до (-5;0) [latex](x_1-5)^2+y_1^2=4((x_1+5)^2+y_1^2)\\x_1^2-10x+25+y_1^2 = 4x_1^2+40x_1+100+4y_1^2\\3x_1^2+50x_1+75+3y_1^2=0\\16*3x_1^2+16*50x_1+16*75+3(9x_1^2-144)=0\\75x_1^2+800x_1+768=0\\x_1=\frac{-800\pm640}{150}\\x_{11}=-9.6;x_{12}=-\frac{16}{15}[/latex] Второе решение не подходит, т.к. квадрат y не может быть отрицательным Таким образом решением являются две точки: [latex](-9,6;\sqrt{42.84})\\(-9,6;-\sqrt{42.84})\\[/latex]