На продолжении стороны АС треугольника АВС отмечена точка М.Известно, что СМ=2АС,угол СВА=15º и угол САВ=45º.Найдите угол АМВВарианты ответа:а)60º;б)65º;в)70º;г)72º;д)75º

Исходя из того, что в любом треугольнике сумма углов равна   [latex] 180^o \ , [/latex]   легко понять, что   [latex] \angle BCA = 120^o \ . [/latex] Для любого треугольника верно, что отношение любой его стороны к синусу противолежащего угла – постоянно, тогда: [1]    [latex] \frac{AB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \ ; [/latex] Проведём   [latex] CN \ [/latex]   так, чтобы   [latex] \angle BCN = 45^o \ . [/latex] Тогда   [latex] \angle CNB = 120^o \ . [/latex] Опять же из соотношения синусов: [2]    [latex] \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ; [/latex] Перемножим выражения [1] и [2]: [latex] \frac{AB}{ \sin{ 120^o } } \cdot \frac{CB}{ \sin{ 120^o } } = \frac{CB}{ \sin{ 45^o } } \cdot \frac{NB}{ \sin{ 45^o } } \ ; [/latex] [latex] \frac{AB}{ \sin^2{ 120^o } } = \frac{NB}{ \sin^2{ 45^o } } \ ; [/latex] [3]   [latex] AB \sin^2{ 45^o } = NB \sin^2{ 120^o } \ ; [/latex] Учитывая, что:   [latex] \sin{ 120^o } = \sin{ 60^o } = \frac{ \sqrt{3} }{2} \ [/latex]   и   [latex] \sin{ 45^o } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \ , [/latex]   а значит: [latex] \sin^2{ 120^o } = \frac{3}{4} \ [/latex]   и   [latex] \sin{ 45^o } = \frac{1}{2} \ , [/latex]   получим из выражения [3] : [latex] AB \cdot \frac{1}{2} = NB \frac{3}{4} \ ; [/latex] [latex] AB = NB \frac{3}{2} \ ; [/latex] [latex] NB = \frac{2}{3} AB \ ; [/latex] Это как раз и позволит разрешить поставленный вопрос. [latex] NA = \frac{1}{3} AB \ ; [/latex] т.е.: NA : NB = 1 : 2 = CA : CM . По Теореме Фалеса, пропорциональные отрезки на сторонах треугольника отсекаются параллельными прямыми, а значит: [latex] MB || CN \ ; [/latex] [latex] \angle M = \angle NCA = 180^o - 60^o - 45^o = 75^o \ ; [/latex] О т в е т :  (Д)     [latex] 75^o \ . [/latex]