Найдите четвертый член бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами, если ее сумма равна 3/4, а третий член равен 1/9

[latex]b_{n}=b_{1},b_{2}...,b_{n}[/latex] [latex]b_{n}\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]b_{4}=b_{1}*q^{3}[/latex] [latex]b_{3}=b_{1}*q^{2}= \frac{1}{9}[/latex] => [latex]q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }[/latex] [latex]S= \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}[/latex] => [latex]q= \frac{3-4b_{1}}{3}[/latex] [latex]\frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }=\frac{3-4b_{1}}{3}[/latex] [latex]3-4b_{1}\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]b_{1}\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]b_{1}= \frac{1}{(3-4b_{1})^{2}}[/latex] [latex]0\ \textless \ b_{1}\ \textless \ b_{1}\ \textless \ \frac{3}{4}[/latex] (*) [latex]b_{1}= \frac{1}{9-24b_{1}+16b^{2}_{1}}[/latex] [latex]16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=0[/latex] [latex]16b^{3}_{1}-24b^{2}_{1}+9b-1=(b-1)(16b^{2}_{1}-8b_{1}+1)=0[/latex] [latex]b_{1}=1[/latex] - посторонний корень (*) [latex]16b^{2}_{1}-8b_{1}+1=(4b_{1}-1)^{2}=0[/latex] [latex]b_{1}= \frac{1}{4}[/latex] [latex]q= \frac{1}{3 \sqrt{b_{1}} }= \frac{1}{3 \sqrt{ \frac{1}{4} } }=\frac{2}{3}[/latex] [latex]b_{4}=\frac{1}{4}*(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{4*27}=\frac{2}{27}[/latex]