Найдите две последние цифры числа 1+9^78

Далее, везде в преобразованиях [latex] N_1, N_2, N_3, ... , N_i [/latex] – какие-то числа, кратные ста, т.е. [latex] 800, 7100, 62400, ... [/latex] и т.п. Способ [[[ 1 ]]] [latex] 9^{78} = (9^2)^{39} = 81^{39} = 81 \cdot 81^{38} = 81 \cdot (81^2)^{19} = 81 \cdot ((80+1)^2)^{19} = [/latex] [latex] = 81 \cdot (8^2 \cdot 100 + 2 \cdot 80 + 1)^{19} = 81 \cdot (N_1 + 61)^{19} = 81 \cdot (N_1 + 61) \cdot ((N_1 + 61)^2)^9 = [/latex] [latex] = (N_1 \cdot 81 + 81 \cdot 61) \cdot (N_1^2 + 2 \cdot N_1 \cdot 61 + 61^2)^9 = [/latex] [latex] = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_3 + 60^2 + 2 \cdot 60 + 1)^9 = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_4 + 21)^9 = [/latex] [latex] = (N_2 + 81 \cdot 61) \cdot (N_4 + 21) \cdot ((N_4 + 21)^2)^4 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_4^2 + 2 \cdot N_4 \cdot 21 + 21^2)^4 = [/latex] [latex] = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_6 + 41)^4 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot ((N_6 + 41)^2)^2 = [/latex] [latex] = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_6^2 + 2 \cdot N_6 \cdot 41 + 41^2)^2 = [/latex] [latex] = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_7 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1)^2 = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_8 + 81)^2 = [/latex] [latex] = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_8^2 + 2 \cdot N_8 \cdot 81 + 81^2) = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_9 + 80^2 + 2 \cdot 80 + 1) = [/latex] [latex] = (N_5 + 81 \cdot 61 \cdot 21) \cdot (N_{10} + 61) = N_{11} + 81 \cdot 21 \cdot 61^2 = N_{11} + ( 80 + 1 ) ( 20 + 1 ) ( 60 + 1 )^2 = [/latex] [latex] = N_{11} + ( 80 \cdot 20 + 80 + 20 + 1 ) ( 60^2 + 2 \cdot 60 + 1 ) = [/latex] [latex] = N_{11} + ( N_{12} + 1 ) ( N_{13} + 21 ) = N_{11} + N_{14} + 21 = N_{15} + 21 [/latex] ; [latex] 1 + 9^{78} = 1 + N_{15} + 21 = N_{15} + 22 [/latex] ; О т в е т : две последние цифры [latex] 22 . [/latex] Способ [[[2]]] 1-ое действие: [latex] 9^2 = 81 [/latex] ; 2-ое действие: [latex] 9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 + 1 = N_1 + 61 [/latex] ; 3-е действие: [latex] 9^8 = (9^4)^2 = ( N_1 + 61 )^2 = N_1^2 + 2 \cdot N_1 \cdot 61 + 61^2 = [/latex] [latex] = N_2^2 + 60^2 + 2 \cdot 60 + 1 = N_3 + 21 [/latex] ; 4-ое действие: [latex] 9^9 = 9^8 \cdot 9 = ( N_3 + 21 ) \cdot 9 = N_3 \cdot 9 + 189 = N_4 + 89 [/latex] ; 5-ое действие: [latex] 9^{18} = (9^9)^2 = ( N_4 + 89 )^2 = N_4^2 + 2 \cdot N_4 \cdot 89 + 89^2 = [/latex] [latex] = N_5 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_6 + 21 [/latex] ; 6-ое действие: [latex] 9^{19} = 9^{18} \cdot 9 = ( N_6 + 21 ) \cdot 9 = N_6 \cdot 9 + 189 = N_7 + 89 [/latex] ; 7-ое действие: [latex] 9^{38} = (9^{19})^2 = ( N_7 + 89 )^2 = N_7^2 + 2 \cdot N_7 \cdot 89 + 89^2 = [/latex] [latex] = N_8 + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_9 + 21 [/latex] ; 8-ое действие: [latex] 9^{39} = 9^{38} \cdot 9 = ( N_9 + 21 ) \cdot 9 = N_9 \cdot 9 + 189 = N_{10} + 89 [/latex] ; 9-ое действие: [latex] 9^{78} = (9^{39})^2 = ( N_{10} + 89 )^2 = N_{10}^2 + 2 \cdot N_{10} \cdot 89 + 89^2 = [/latex] [latex] = N_{11} + 80^2 + 2 \cdot 80 \cdot 9 + 81 = N_{12} + 21 [/latex] ; 10-ое действие: [latex] 1 + 9^{78} = 1 + N_{12} + 21 = N_{12} + 22 [/latex] ; О т в е т : две последние цифры [latex] 22 . [/latex] Способ [[[ 3 ]]] [latex] 1 + 9^{78} = ( 1 + 9^{26} ) ( 1 - 9^{26} + 9^{52} ) [/latex] ; 1-ое действие: [latex] 9^2 = 81 [/latex] ; 2-ое действие: [latex] 9^4 = (9^2)^2 = 81^2 = 80^2 + 2 \cdot 80 + 1 = N_1 + 61 [/latex] ; 3-е действие: [latex] 9^6 = 9^2 9^4 = ( N_1 + 61 ) 81 = N_2 + 61 \cdot 81 = [/latex] [latex] = N_2 + 60 \cdot 80 + 60 + 80 + 1 = N_3 + 41 [/latex] ; 4-ое действие: [latex] 9^{12} = (9^6)^2 = ( N_3 + 41 )^2 = N_3^2 + 2 \cdot N_3 \cdot 41 + 41^2 = [/latex] [latex] = N_4 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1 = N_5 + 81 [/latex] ; 5-ое действие: [latex] 9^{13} = 9^{12} 9 = ( N_5 + 81 ) 9 = N_5 \cdot 9 + 81 \cdot 9 = N_6 + 29 [/latex] ; 6-ое действие: [latex] 9^{26} = (9^{13})^2 = ( N_6 + 29 )^2 = N_6^2 + 2 \cdot N_6 \cdot 29 + 29^2 = N_7 + 841 = N_8 + 41 [/latex] ; 7-ое действие: [latex] 9^{52} = (9^{26})^2 = ( N_8 + 41 )^2 = N_8^2 + 2 \cdot N_8 \cdot 41 + 41^2 = [/latex] [latex] = N_9 + 40^2 + 2 \cdot 40 + 1 = N_{10} + 81 [/latex] ; 8-ое действие: [latex] 1 + 9^{78} = ( 1 + 9^{26} ) ( 1 - 9^{26} + 9^{52} ) = [/latex] [latex] = ( 1 + N_8 + 41 ) ( 1 - N_8 - 41 + N_{10} + 81 ) = ( N_{11} + 42 ) ( N_{12} + 41 ) = [/latex] [latex] = N_{11} \cdot N_{12} + 42 \cdot N_{12} + 41 \cdot N_{11} + ( 40 + 1 ) ( 40 + 2 ) = [/latex] [latex] = N_{13} + 40^2 + 40 \cdot 2 + 40 + 2 = N_{14} + 22 [/latex] ; О т в е т : две последние цифры [latex] 22 . [/latex]