Найдите катеты a и b прямоугольного треугольника с гипотенузой c и острым углом a если известно что с=7

Поскольку неизвестных два: [latex] a [/latex] и [latex] b , [/latex] а уравнение всего одно: [latex] a^2 + b^2 = 7^2 , [/latex] то решений может быть бесконечно много. Так как никаких иных условий не поставлено, попробуем найти хотя бы одно частное решение данного задания с целыми катетами, а если не получится, то с рациональными катетами. Пусть [latex] a \in \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} [/latex] Тогда [latex] b^2 = 49 - a^2 , [/latex] а значит: [latex] b^2 \in \{ 13, 24, 33, 40, 45, 48 \} . [/latex] Ни одно из значений [latex] b^2 [/latex] – не является квадратом натурального числа, а значит, целых решений нет. Для того чтобы найти рациональное решение, можно взять любой известный египетский треугольник. Например, со сторонами [latex] 3, 4 [/latex] и [latex] 5 [/latex] и рассчитать катеты из подобия гипотенузы [latex] 5 [/latex] этого треугольника и нашего исходного треугольника с гипотенузой [latex] 7 . [/latex] Ясно, что наш треугольник больше и относится к упомянутому египетскому, как [latex] 7 : 5 , [/latex] т.е. больше него в [latex] 1.4 [/latex] раза, соответственно и катеты больше в [latex] 1.4 [/latex] раза, т.е. вместо катетов [latex] 3 [/latex] и [latex] 4 [/latex] исходного египетского нужно брать катеты [latex] 3 \cdot 1.4 = 4.2 [/latex] и [latex] 4 \cdot 1.4 = 5.6 . [/latex] Итак, в качестве частного решения мы нашли треугольник с катетами: [latex] a = 4.2 [/latex] и [latex] b = 5.6 . [/latex] *** проверка: [latex] 40^2 = 1600 [/latex] ; [latex] 41^2 = 40^2 + 40 + 41 = 1681 [/latex] ; [latex] 42^2 = 41^2 + 41 + 42 = 1764 [/latex] ; [latex] 4.2^2 = 17.64 [/latex] ; [latex] 55^2 = (5+6) \cdot 100 + 5^2 = 3025 [/latex] ; [latex] 56^2 = 55^2 + 55 + 56 = 3136 [/latex] ; [latex] 5.6^2 = 31.36 [/latex] ; [latex] 4.2^2 + 5.6^2 = 17.64 + 31.36 = 49 = 7^2 . [/latex] Можно взять и другой известный египетский треугольник. Например, со сторонами [latex] 7, 24 [/latex] и [latex] 25 [/latex] и рассчитать катеты из подобия гипотенузы [latex] 25 [/latex] этого треугольника и нашего исходного треугольника с гипотенузой [latex] 7 . [/latex] Ясно, что наш треугольник меньше и относится к упомянутому египетскому, как [latex] 7 : 25 , [/latex] т.е. составляет от него часть: [latex] \frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0.28 . [/latex] Соответственно и катеты меньше, т.е. вместо катетов [latex] 7 [/latex] и [latex] 24 [/latex] исходного египетского нужно брать катеты [latex] 7 \cdot 0.28 = 1.96 [/latex] и [latex] 24 \cdot 0.28 = 6.72 . [/latex] Итак, в качестве другого частного решения мы нашли треугольник с катетами: [latex] a = 1.96 [/latex] и [latex] b = 6.72 . [/latex] Можно взять и ещё какой-нибудь известный египетский треугольник. Например, со сторонами [latex] 5, 12 [/latex] и [latex] 13 [/latex] и рассчитать катеты из подобия гипотенузы [latex] 13 [/latex] этого треугольника и нашего исходного треугольника с гипотенузой [latex] 7 . [/latex] Ясно, что наш треугольник меньше и относится к упомянутому египетскому, как [latex] 7 : 13 , [/latex] т.е. составляет от него часть: [latex] \frac{7}{13} . [/latex] Соответственно и катеты меньше, т.е. вместо катетов [latex] 5 [/latex] и [latex] 12 [/latex] исходного египетского нужно брать катеты [latex] 5 \cdot \frac{7}{13} = \frac{35}{13} = 2 \frac{9}{13} [/latex] и [latex] 12 \cdot \frac{7}{13} = \frac{84}{13} = 6 \frac{6}{13} . [/latex] Итак, ещё одно частное решение: мы нашли треугольник с катетами: [latex] a = 2 \frac{9}{13} [/latex] и [latex] b = 6 \frac{6}{13} . [/latex] Ну и вообще можно брать любые треугольники с катетами [latex] a [/latex] и [latex] b = \sqrt{ 49 - a^2 } [/latex] О т в е т : Три рациональных частных решения: [latex] a = 4.2 [/latex] и [latex] b = 5.6 [/latex] ; [latex] a = 1.96 [/latex] и [latex] b = 6.72 [/latex] ; [latex] a = 2 \frac{9}{13} [/latex] и [latex] b = 6 \frac{6}{13} , [/latex] кроме которых существует бесконечное число аналогичных рациональных решений. Общее решение: [latex] a \in (0;7) [/latex] и [latex] b = \sqrt{ 49 - a^2 } . [/latex]