Найдите наименьшее натуральное число, которое при умножении на 2 становится точным квадратом, а при умножении на 3 – точным кубом.

Наше число будем искать в виде [latex]2^n3^kd[/latex], где [latex]n,k\ge 0[/latex], [latex]d\ge 1[/latex] и [latex]d[/latex] не делится ни на 2 ни на 3. Заметим, что любое натуральное число можно представить в таком виде. Тогда по условию [latex]2^{n+1}3^kd[/latex] должно быть квадратом, а [latex]2^n3^{k+1}d[/latex] должно быть кубом, т.е. [latex]n+1[/latex] и [latex]k[/latex] делятся на 2, а [latex]n[/latex] и [latex]k+1[/latex] делятся на 3, и, кроме того, [latex]d[/latex] является одновременно и квадратом и кубом, т.е. является 6-ой степенью. Минимальное [latex]n[/latex], такое что оно делится на 3 и [latex]n+1[/latex] делится на 2  равно 3, т.е. [latex]n=3[/latex]. Минимальное [latex]k[/latex], такое что оно делится на 2 и [latex]k+1[/latex] делится на 3  равно 2, т.е. [latex]k=2[/latex]. Минимальное [latex]d[/latex], которое является 6-ой степенью равно 1. Итак, искомое число равно [latex]2^33^2=72[/latex]. Ответ: 72.