Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

f(x)=2^(2x)-2^(x+4)+100=2^(2x)-2^4*2^x+100=2^(2x)-16*2^x+100 2^(x)=t t^2-16t+100=0-парабола,ветки вниз.найдем координаты вершины: t(min)=16/2=8 2^(x)=8 2^(x)=2^3 x=3 f(3)=64-128+100=36-наименьшее значение функции

Для поиска наименьшего значения функции [latex] f(x) [/latex] необходимо найти ноли производной [latex] f'(x) = 0 , [/latex] т.е. точки, где у функции будет экстремум, и показать, что до экстремума функция [latex] f(x) [/latex] падает, т.е. производная [latex] f'(x) < 0 , [/latex] а после экстремума функция растёт, т.е. производная [latex] f'(x) > 0 . [/latex] Пользуемся правилами дифференцирования: 1) [latex] ( e^x )' = e^x [/latex] ; 2) [latex] ( \psi (kx+q) )' = k \psi '(kx+q) [/latex] ; 3) [latex] ( a^{x+b} )' = ( ( e^{ \ln{a} } )^{x+b} )' = ( e^{ (x+b) \ln{a} } )' = \ln{a} \cdot e^{ (x+b) \ln{a} } = \ln{a} \cdot a^{x+b} [/latex] ; Берём производную, в соответствии с 3) : [latex] f'(x) = \ln{4} \cdot 4^x - \ln{2} \cdot 2^{x+4} = [/latex] [latex] = 2\ln{2} \cdot (2^2)^x - \ln{2} \cdot 2^{x+4} = \ln{2} ( 2^1 \cdot 2^{2x} - 2^{x+4} ) [/latex] ; [latex] f'(x) = \ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} ) [/latex] ; Потребуем: [latex] f'(x) = 0 [/latex] ; [latex] \ln{2} ( 2^{2x+1} - 2^{x+4} ) = 0 [/latex] ; [latex] 2^{2x+1} = 2^{x+4} [/latex] ; [latex] 2x+1 = x+4 [/latex] ; [latex] x = 3 , [/latex] причём это единственный корень. При [latex] x < 3 , [/latex] например при [latex] x = 0 , f'(x=0) = \ln{2} ( 2^{ 2 \cdot 0 + 1 } - 2^{ 0 + 4 } ) = \ln{2} ( 2^1 - 2^4 ) < 0 , [/latex] т.е. функция убывает. При [latex] x > 3 , [/latex] например при [latex] x = 4 , f'(x=4) = \ln{2} ( 2^{ 2 \cdot 4 + 1 } - 2^{ 4 + 4 } ) = \ln{2} ( 2^9 - 2^8 ) > 0 , [/latex] т.е. функция растёт. Значит при [latex] x = 3 [/latex] как раз достигается минимум: [latex] f(x = 3) = 4^3 - 2^{3+4} + 100 = 64 - 128 + 100 = 36 [/latex] ; О т в е т : [latex] min(f(x)) = 36 . [/latex]