Найдите объем шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна α , а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α .

Пусть пирамида SАВС правильная (по условию все ребра равны а) вписана в шар, центр которого О. Выполним дополнительные построения: проведем диаметр SS1, который пройдет через центр шара и точку О1 (эта точка лежит в центре основания пирамиды). ΔSАS1 - прямоугольный. АО1 - высота проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе SS1. АS=а, ∠SАО1=α; АО1=а·cosα В прямоугольном Δ АSS1 ∠ASO1=90-α, АS=а;  определим диаметр шара SS1=а/cos(90-α)=a/sinα. Радиус шара равен R=а/2sinα/ V=4πR³/3=(a³π)/(3sin³α).