Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли заданная числовая последовательность бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной числовой последовательностью. ((7n+3)/(7n+2))^(3n-4)

Можно найти несколько пределов данной числовой последовательности. Для этого нужно посмотреть, что произойдет с ней при стремлении к бесконечности с разными знаками, и в "опасных" точках.  "Опасные" точки сразу видны, это: 1) [latex]n=- \frac{2}{7} [/latex] - знаменатель обращается в 0. 2) [latex]n=0[/latex] - по обычаю проверяется эта точка. Эта числовая последовательность может быть сведена ко второму замечательному пределу для нахождения пределов: [latex]lim (1+ \frac{1}{x})^x=e[/latex] (при [latex]x[/latex]→∞) Выделяем целую часть в дроби: [latex]\frac{7n+3}{7n+2 } = 1 + \frac{1}{7n+2 } [/latex] Используем свойство 2-го замечательного предела, но добавляем степени: [latex]lim (1 + \frac{1}{7n+2 })^{3n-4}[/latex] [latex]lim (((1 + \frac{1}{7n+2 })^{7n+2})^{ \frac{1}{7n+2}})^{3n-4} = e^{\frac{1}{7n+2} * 3n-4}[/latex] (при [latex]n[/latex]→∞) То есть мы степень не меняли: домножили и разделили. Посчитаем, что получилось: [latex]e^{\frac{1}{7n+2} * 3n-4} = e^{ \frac{3n-4}{7n+2}} = e^{ \frac{n*(3-\frac{4}{n}) }{n*(7+\frac{2}{n})} } = e^{ \frac{3}{7} }[/latex] (при [latex]n[/latex]→∞) Итак:  1) [latex]n[/latex]→+∞ предел равен [latex]e^{ \frac{3}{7} }[/latex] 2) [latex]n[/latex]→-∞  предел равен [latex]e^{ \frac{3}{7} }[/latex] 3) [latex]n[/latex]→0 предел равен: [latex]lim ( \frac{7n+3}{7n+2})^{3n-4} = (\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}[/latex] 4) [latex]n[/latex]→[latex]- \frac{2}{7} [/latex] По правило Лопиталя имеем: 0 (не расписывал, поскольку это очень много и неважно в данном случае, нас это не интересует). Мы видим, что при стремлении к бесконечности с разными знаками, мы имеем конечное число. В "опасных" точках, скачков нет. Используя свойства показательной функции, находим, что график делает скачок в некотором интервале (основание должно быть неотрицательным числом, если же взять число из интервала [latex]- \frac{3}{7} \leq x \leq - \frac{2}{7} [/latex] - мы получаем отрицательное основание). Можно говорить, что данная числовая последовательность является неограниченной (из-за этого интервала). Если же этого не учитывать, то данная числовая последовательность является ограниченной (это очень грубо).