Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2*e^x-7

[latex](x-5)^2*e^x-7[/latex] Для нахождения локального максимума функции, найдём её стационарные точки, точки недифференцируемости и выясним поведение функции в некоторой окрестности данных точек. Вычислим первую производную функции: [latex]((x-5)^2*e^x-7)'=((x-5)^2*e^x+(-7))' [/latex] [применяем правило (u+v)'=u'+v'] [latex]((x-5)^2*e^x)'+(-7)'[/latex] [применяем правило (c)'=0, где c=const] [latex]((x-5)^2*e^x)'[/latex] [применяем правило (uv)'=u'v+uv'] [latex]((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*(e^x)'[/latex] [используем [latex] (e^x)^{(n)}=e^x [/latex], ∀n∈[latex]N_{0} [/latex]] [latex]((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*e^x=e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)[/latex] Найдём отдельно производную сложной функции (x-5)^2: [по правилам (f(u(x)))'=f'(u(x))*u'(x) и (x^m)'=m*x^(m-1)] [latex]2*(x-5)*1=2*(x-5)[/latex] Подставим найденное значение в [latex]e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)[/latex]: [latex]e^x(2*(x-5)+(x-5)^2)=e^x(x-5)(2+x-5)=e^x(x-5)(x-3)[/latex] Приравняем производную к нулю и найдём стационарные точки, точки недифференцируемости: [latex]e^x(x-5)(x-3)=0[/latex] Отсюда x=5;3 - стационарные точки. Точек недифференцируемости нет. Рассмотрим первую стационарную точку x=5. При x↑ производная меняет знак с "-" на "+" => x=5 - точка локального минимума функции. Теперь рассмотрим стационарную точку x=3. При x↑ производная меняет знак с "+" на "-" => x=3 - точка локального максимума функции. Ответ: 3.