Найдите все целые и положительные числа x и y удовлетворяющие уравнению y^3=x^3+9x^2+17

Воспользуемся тем что [latex]y^3[/latex]  куб числа по модулю [latex]3[/latex] (остатки от деления) сравнимы с [latex]0;1;2[/latex] соответственно когда [latex]y=3n\\ y \neq 3n\\ y=3n+5[/latex] , где [latex] n \in N[/latex] .   По тому же принципу справа  [latex]x^3+9x^2+17[/latex]  [latex]x^3[/latex] так же как  [latex]y[/latex],[latex]9x^2[/latex] дает остаток [latex]0[/latex], число [latex]17\equiv 2\ mod (3)[/latex], то есть остаток числа [latex]9x^2+17[/latex] равен [latex]2[/latex] при делений на [latex]3[/latex] .[latex] y^3=x^3+(9x^2+17)\\ [/latex]  рассмотрим случаи , когда [latex] y=3n\\ [/latex]  слева остаток всегда равен [latex]0[/latex] , но справа уже не может поэтому [latex]y \neq 3n[/latex]            рассмотрим случаи когда  [latex] y \neq 3n[/latex],  слева остаток при делений на [latex]3[/latex] как ранее был сказан равен [latex]1[/latex] , но  тогда справа должно быть число дающее [latex]4[/latex], а оно  дает при делений на [latex]3[/latex] остаток [latex]1[/latex] отсюда [latex]x \neq 3z[/latex] подходит  [latex]y=3[/latex] [latex]x=1[/latex]  Далее можно проделать такую же операцию с [latex]y=3n+5[/latex]  , но оно так же  не действительно , то есть решение [latex]x=1;y=3[/latex]