Найдите все целые значения q, для которых уравнение х2 + px + p = q имеет целый корень только при одном целом значении р.

x^2 +px +p=q I)x^2 +px +(p-q)=0   D = p^2 - 4p+4q >=0         II) решаем неравенство p^2 -4p+4q>=0    1) Рассмотрим функцию f(x)= p^2 -4p+4q     2)Нули функции p^2 -4p+4q=0                                  D=16-16q >=0                                         16q<=16                                              q<=1   Ответ:1      Проверка и пояснения: Если мы вместо q подставим 1, то мы получим D=16-16 =0                                                                                          p1=(4+0)/2=2                                                                                          p2=(4-0)/2=2   Итак, при q=1 уравнение имеет один целый корень p=2.   Оба условия задачи выполнены: p=2 - целое число q=1 -целое число   Подставим оба параемтра в уравнение: x^2+2x +2=1 x^2+2x+2-1=0 x^2+2x+1=0   D=4-4=0 x1=x2=-2/2 =-1 Итак x=-1 Это ЦЕЛЫЙ отрицательный корень

[latex]x^2+px+p-q=0[/latex] Для начала заметим, что для любого q можно подставить р=q и получить выражение [latex]x^2+qx=0\\ x(x+q)=0[/latex] т.е. всегда существует одно р. Попробуем доказать, что всегда существует и второе. [latex]x^2+px+p-q=0\\ D=p^2-4p+4q\\ x=\frac{-p+- \sqrt{p^2-4p+4q} }{2}[/latex] Числитель в последнем равенстве всегда кратен 2, т.к. при нечётных р: -р и D нечётны следовательно их разность и сумма чётны, а при чётных р: -p и D чётны следовательно их сумма и разность тоже чётны. Нам осталось доказать, что в уравнении D=p^2-4p+4q для любого q существует р такое что D  представим в виде [latex]n^2[/latex], где n-любое натуральное число. Действительно [latex]p^2-4p+4q=n^2\\ p^2-4p+4q-n^2=0\\ D=16-16q+4n^2=4\cdot(n^2-4q+4) [/latex] при n=q дискриминант извлечётся и мы получим p=4-q Подставив в изначальное мы можем убедиться, что при р=4-q хотя бы один корень исходного уравнения будет целым. Обобщим решение: мы получили, что для любого целого q существуют целые p=q и р=4-q,что хотя бы один корень исходного уравнения целый. Ответ:таких q нет