Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел х и y, удовлетворяющих неравенству5Ix-2I+3Ix+aI≤[latex] \sqrt{4- y^{2} } [/latex]+7

Если неравенство справедливо при некотором y ≠ 0, то оно будет удовлетворяться при y = 0, так как [latex]\sqrt{4-y^2}+7\leqslant\sqrt{4-0}+7[/latex]. Ну а если неравенство нарушается при всех y, то оно неверно и при y = 0 тоже. Поэтому можно проверять условие при y = 0. Задача тогда переписывается в виде: "Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одно число х, удовлетворяющее неравенству [latex]5|x-2|+3|x+a|\leqslant 9[/latex]" Заметим, что можно переформулировать неравенство как [latex]\min\limits_{x\in\mathbf R}5|x-2|+3|x+a|\leqslant 9[/latex] Представим себе график функции y(x) = 5|x - 2| + 3|x + a|. Модули обнуляются при x = 2 и x = -a. При отдалении влево от min(2, -a) и вправо от max(2, -a) функция возрастает, а при min(2, -a) <= x <= max(2, -a) функция линейная. Минимум на промежутке (-infty, min(2, -a)] достигается в точке x = min(2, -a). Минимум на промежутке [max(2, -a), infty) достигается в точке x = max(2, -a) Минимум на отрезке [min(2, -a), max(2, -a)] достигается в одном из концов (на этом отрезке функция линейна) Таким образом, [latex]\min\limits_{x\in\mathbf R}y(x)=\min(y(-a),y(2))[/latex] Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство min y(x) <= 9. С учетом последнего наблюдения это неравенство равносильно совокупности [latex]\left[\begin{array}{l} y(2)\leqslant9\\ y(-a)\leqslant9 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} 3|a+2|\leqslant9\\ 5|a+2|\leqslant9 \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad |a+2|\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \boxed{-5\leqslant a\leqslant 1}[/latex] Ответ. -5 <= a <= 1.