Найдите значение выражения sin 54- sin 18

[latex]sin54^o-sin18^o=2cos \frac{54^o+18^o}{2}*sin \frac{54^o-18^o}{2}=2cos36^osin18^o[/latex] Отдельно вычислим [latex]sin18^o[/latex]: Так как: [latex]sin36^o=sin(90^o-54^o)=cos54^o[/latex] [latex]sin(2*18^o)=cos(3*18^o) \\ 2sin18^ocos18^o=4cos^318^o-3cos18^o \\ 2sin18^ocos18^o=4cos18^o(4cos^218^o-3)[/latex] Разделим на [latex]cos18^o[/latex] [latex]2sin18^o=4-4sin^218^o-3[/latex] [latex]4sin^218^o+2sin18^o-1=0[/latex], учтем [latex]sin18^0\ \textgreater \ 0[/latex] [latex]D=4-4*4*(-1)=20 \\ sin18^o= \frac{-2+2 \sqrt{5} }{8} = \frac{ \sqrt{5}-1 }{4} [/latex] [latex]sin18^o= \frac{-2-2 \sqrt{5} }{8}[/latex]  - ∅ Отдельно вычислим [latex]cos36^o[/latex]: [latex]cos36^o=2cos^218^o-1 [/latex] [latex]cos54^o=cos(90^o-36^o)=sin36^o=2sin18^ocos18^o= \\ =2cos18^o \sqrt{1-cos^218^o} \\ cos(3*18^o)=4cos^318^o-3cos18^o \\ 2cos18^o \sqrt{1-cos^218^o} =cos18^0(4cos^218^o-3) \\ 2\sqrt{1-cos^218^o} =4cos^218^o-3 \\ (2\sqrt{1-cos^218^o})^2 =(4cos^218^o-3 )^2 \\ 4(1-cos^218^o) =16cos^418^o-24cos^218^o +9 \\16cos^418^o-24cos^218^o +4cos^218^o +9-4=0 \\16cos^418^o-20cos^218^o +5=0 \\ cos^218^o=t \\ 16t^2-20t+5=0 \\ D=400-4*16*5=80 \\ t_1= \frac{20+4 \sqrt{5} }{32}= \frac{5+ \sqrt{5} }{8}[/latex] [latex]t_2= \frac{20-4 \sqrt{5} }{32}= \frac{5- \sqrt{5} }{8}[/latex]  ∅ т.к. [latex]cos^218^o\ \textgreater \ \frac{5- \sqrt{5} }{8}[/latex] [latex]cos36^o=2cos^218^o-1=2*\frac{ \sqrt{5}+5 }{8}-1=\frac{\sqrt{5} +5}{4}-1=\frac{ \sqrt{5}+5 -4}{4}=\frac{ \sqrt{5}+1}{4} \\ 2cos36^osin18^o=2*\frac{ \sqrt{5}+1}{4}*\frac{ \sqrt{5}-1}{4}=2*\frac{ (\sqrt{5})^2-1}{16}=2* \frac{4}{16}=2* \frac{1}{4}= \frac{1}{2} [/latex]