Найти наибольшее двузначное число n при котором остаток от деления числа 3 в степени n на 7 равен 5, если такое число существует

В теории чисел (делимость и сравнение по модулю) доказывается, что остатки от деления повторяются с некоторым периодом. В данной задаче остатки от деления числа 3^n на 7 при увеличении n повторяются с периодом 6: первое число, при делении на 7 дающее в остатке 5, это  число 243 (при n=5), следующее 177147 (при n=11) и т.д. Подробнее: n=5      3^n=243=34*7+5 n=11    3^n=177147=25306*7+5 n=17    3^n=... n=23    3^n=... ... Можем записать [latex]3^(5+6k)=N*7+5[/latex] где k=0,1,2,3,4,... По условию задачи n-двузначное число, следовательно [latex]5+6k \leq 99[/latex] отсюда максимально возможное значение k=15 n=5+6*15=95   Ответ: наибольшее двузначное число n=95