Найти общее решение дифференциального уравнения [latex]a(x)y^{'}+b(x)y=f(x)[/latex]  и частное решение, удовлетворяющее начальному условию [latex]y=y_{0}[/latex] при [latex]x=x_{0}[/latex] [latex]xy^{'}+2y=\frac{1}{x}[/latex]  ...

Сначала разделим левую и правую часть уравнения на x, получим: [latex]y'+\frac{2}{x}y=\frac{1}{x^2}[/latex]  Решим сначала однородное уравнение, вида: [latex]y'+\frac{2}{x}y=0[/latex]  Это уравнение с разделяющимися переменными, получаем:[latex]\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y=0[/latex]   [latex]\frac{dy}{dx}=-\frac{2}{x}y[/latex]   [latex]\frac{dy}{y}=-\frac{2}{x}dx[/latex] Берем интеграл от обоих частей получаем:    [latex]\int{\frac{dy}{y}}=-\int\frac{2}{x}dx[/latex] [latex]ln(y)=-2ln(x)[/latex]  [latex]y=\frac{C}{x^2}[/latex]  Дальше методом вариации свободной постоянной ищем частное решение неоднородного уравнения: Представляем C как функцию от х, т.е C=C(x) и подставляем выражение   [latex]y=\frac{C(x)}{x^2}[/latex] в исходное уравнение. Получаем: [latex]\frac{xC'(x)-2C(x)}{x^3}+\frac{2}{x}\frac{C(x)}{x^2}=\frac{1}{x^2}[/latex]  Сокращаем подобные и прочее, получаем: [latex]\frac{C'(x)}{x^2}=\frac{1}{x^2} \\ C'(x)=1 \\ C(x)=x[/latex]  Подставляем получившееся значение C(x) в выражение   [latex]y=\frac{C}{x^2}[/latex]  и получаем частное решение [latex]y=\frac{1}{x}[/latex]  В итоге общее решение неоднородного уравнения это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.е. [latex]Y=\frac{C}{x^2}+\frac{1}{x}[/latex]  Все, уравнение решено. Теперь решаем задачу Коши: Т.к. [latex]y_0=1\\x_0=3[/latex]  то приходим к уравнению [latex]1=\frac{C}{9}+\frac{1}{3}\\ \frac{C}{9}=\frac{2}{3}\\ C=6[/latex]  Все, нашли С, теперь пишем решение задачи Коши: [latex]Y_0=\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x}[/latex]  Ответ: Общее решение дифференциального уравнения:   [latex]Y=\frac{C}{x^2}+\frac{1}{x}[/latex]  Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющиего начальному условию [latex]y_0=1, x_0=3[/latex] :   [latex]Y_0=\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x}[/latex]