Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой -1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку (0;-2)

Найти площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательной к графику функции 0.25(x^2+6x+1) в точке с абсциссой  x₀=-1 , а две стороны - на касательных к графику этой функции, проходящих через точку M(0;-2). ------------ f(x) =0,25(x²+6x+1) ; x₀ =-1. * * *f(x) =0,25(x²+6x+9 -8) = -2+0,25(x+3)²  * * * --- Уравнение касательной к графику функции в точке  с абсциссой x₀ имеет вид : y =f(x₀) + f '(x₀)*(x - x₀) ; f(x₀) =0,25(x₀²+6x₀+1)   =     0,25( (-1)² +6*(-1) +1 ) =  -1 f '(x) = (0,25(x²+6x+1) ) ' = 0,25(2x+6) =0,5(x+3). f '(x₀) = 0,5(x₀+3)  =              0,5( -1+3) = 1 . y = - 1+1(x -(-1))  ⇔ y = x. * * *    y =0,25(x₀²+6x₀+1) + 0,5(x₀+3) (x - x₀)   * * * * * * одна сторона треугольника лежит на прямой  y  = x  * * * Составим уравнения  других касательных , они  проходят  через точку M (0 ; -2)_она одна из вершин треугольника) :  y= kx - 2   * * * . y-(-2) =k*(x  - 0) * * * kx -2 = 0,25(x²+6x+1) ⇔4kx-8 =x²+6x+1 ⇔x²-2(k-3)x+9=0 . D/4 =(k-3)²- 9 = 0⇒ [ k =3 ; k=0 , т.е. y =3x - 2  и  y = - 2. * * * y=- 2 проходит через вершину G(-3 ; -2) параболы y = -2 + 0,25(x+3)² (точка минимума , где производная  f '(x₁)= 0 * * *  Определили_стороны  лежать на прямые  y =x  ;  y = 3x  - 2  и  y = - 2. * * *  k =1; k =3 ; k =0 ⇒ линии не параллельны ,  они   пересекаются и определяют вершины треугольника   * * * A(1 ;1) ; B(-2 ;-2) ; C(0 ;-2) . Площадь можно определить разными способами , но здесь просто BС | | OX  ⇒ S =(1/2)* |BC| *h =(1/2)*2*3  = 3.          ответ:  3.    ----------------------        уравнения касательных можно было получить по другому :   y = 0,25(x₁²+6x₁+1) + 0,5(x₁+3) (x  -x₁) ;    k =0,5(x₁+3) эта касательные проходит через точку  M(0,-2) , поэтому : - 2 = 0,25(x₁²+6x₁+1) +0,5(x₁+3)(0 -x₁) ; - 8 = x₁² + 6x₁+1  - 2x₁² - 6x₁ ; x₁² -9 =0 ⇒ [ x₁=3 , x₁=-3 ; ⇒ соответственно    [ k₁ =3 ;  k₁ =0 . --------                |x₁-x₂   y₁-y₂ |       S = (1/2) |                    |                 |x₂ -x₃  y₂- y₃|