Найти производную: arcсtg 2√x

[latex](x^ \alpha)'_x= \alpha *x^{ \alpha -1}[/latex] (1) [latex](2 \sqrt{x} )'_x=2*( \sqrt{x} )=2*(x^{ \frac{1}{2} })'_x=2* \frac{1}{2} *x^{ \frac{1}{2}-1 }=x^{- \frac{1}{2} }= \frac{1}{x^{ \frac{1}{2} }} = \frac{1}{ \sqrt{x} } [/latex] производная от сложной функции: [latex]u(v(t))'_t=u'_v*v'_t[/latex] у нас: [latex]arcctg(2 \sqrt{x} )[/latex] роль [latex]v[/latex] играет функция: [latex]v(x)=2 \sqrt{x} [/latex] роль [latex]u[/latex] играет функция: [latex]u=u(v(x))=arcctg(v(x))=arcctg(2 \sqrt{x} )[/latex] есть формула: [latex](arcctg(x))'_x=- \frac{1}{1+x^2} [/latex] (2) тогда у нас: [latex](arcctg( 2\sqrt{x} ))'_x=(arcctg(v))'_v*(v(x))'_x= -\frac{1}{1+v^2} *(2 \sqrt{x} )'_x=[/latex] [latex]= -\frac{1}{1+(2 \sqrt{x} )^2} * \frac{1}{ \sqrt{x} } =- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} } [/latex] Ответ: [latex]- \frac{1}{(1+4x) \sqrt{x} }[/latex] P.S. формулы (1) и (2) и формула нахождения производной от сложной функции выводятся из самого определения производной (через лимиты)