Найти величину и направление градиента функции = 1/((x^2)+(y^2))^1/2 в точке M(1,1)

Примерно так Пример №1. Дана функция z=z(x,y), точка A(x0,y0) и вектор a. Найти:  1) grad z в точке А; 2) производную данной функции в точке А в направлении вектора a.Решение.  z = 5*x^2*y+3*x*y^2 Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.: Находим частные производные: Тогда величина градиента равна: Найдем градиент в точке А(1;1) или Модуль grad(z): Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами: Найдем производную в точке А по направлению вектора а(6;-8). Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: Модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: Для вектора a имеем: Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №2. Даны z=f(x; y), А(х0, у0).  Найти а) градиент функции z=f(x; y) в точке А.  б) производную в точке А по направлению вектора а.Пример №3. Найти полный дифференциал функции, градиент и производную вдоль вектора l(1;2).  z = ln(sqrt(x^2+y^2))+2^xРешение.  Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого являются частные производные данной функции, т.е.:  Находим частные производные: Тогда величина градиента равна: Найдем производную в точке А по направлению вектора а(1;2).  Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: Модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы:   Для вектора a имеем:    Если ∂z/∂a > 0, то заданная функция в направлении вектора a возрастает. Если ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.Пример №4. Дана функция . Найти:  1) gradu в точке A(5; 3; 0);  2) производную в точке А в направлении вектора .  Решение.  1. .  Найдем частные производные функции u в точке А.  ;;  , .  Тогда   2. Производную по направлению вектора в точке А находим по формуле  .  Частные производные в точке А нами уже найдены. Для того чтобы найти , найдем единичный вектор  вектора .  , где .  Отсюда .Пример №5. Даны функция z=f(x), точка А(х0, у0) и вектор a. Найти: 1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора a.  Решение.  Находим частные производные: Тогда величина градиента равна: Найдем градиент в точке А(1;1) или Модуль grad(z): Направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами: Найдем производную в точке А по направлению вектора а(2;-5). Найти направление вектора - значит найти его направляющие косинусы: Модуль вектора |a| равен: тогда направляющие косинусы: Для вектора a имеем:   Поскольку ∂z/∂a < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает