Объясните, пожалуйста, как решать такое задание :Найдите все пары целых чисел (x;y), удовлетворяющих уравнению 7x+4y=123

Линейное диофантово уравнение  7х+4у=123. Если коэффициенты перед х и у простые числа, то это уравнение имеет решение в целых числах.  НОД(7,4)=1  ⇒  7 и 4 - простые числа. Подберём частное решение  [latex](x_0,y_0)[/latex]  . В этом уравнении это сделать не совсем просто, поэтому воспользуемся теоремой: чтобы найти решение уравнения  ах+ву=с при взаимно-простых а и в, нужно найти решение  [latex](x_0,y_0)[/latex]  уравнения  ах+ву=1. Тогда числа  [latex](cx_0,cy_0)[/latex]  составляют решение уравнения ах+ву=с .  7х+4у=1   ⇒   [latex]x_0=-1\; ,\; \; y_0=2[/latex]  . [latex]7\cdot (-1)+4\cdot 2=-7+8=1[/latex] [latex]cx_0=123\cdot (-1)=-123\; ,\; \; cy_0=2\cdot 123=246\; \; \to \\\\7x+4y=123\; \; (\star)\\\\7\cdot (-123)+4\cdot 246=123\; \; (\star \star )[/latex] Из (*)  вычтем (**) , получим: [latex]7(x+123)+4(y-246)=0\; \; \to \; \; \; y-246= \frac{-7(x+123)}{4} [/latex] Чтобы (у-246) было целым, надо чтобы (х+123) нацело делилось на 4, то есть  х+123=4к   ⇒  х=4к-123 , k∈Z . Тогда  [latex]y-246= \frac{-7\cdot 4k}{4} =-7k\; \; \Rightarrow \; \; y=-7k+246[/latex] Ответ:  [latex] \left \{ {{x=4k-123} \atop {y=-7k+246}} \right. [/latex], [latex]k\in Z.[/latex]