Очередная 26 задача из ОГЭ. Две окружности, вписанные в угол О, касаются друг друга внешним образом. Точки A, B, C, D - точки касания окружностей и угла. O1 и O2 - центры окружностей. Их радиусы r = 15, R = 21. Рисунок прилагае...

отрезки AB и CD параллельны всегда - можно доказывать, рассматривая равенства всяких треугольников, но проще заметить, что имеется симметрия относительно биссектрисы угла О - если бы отрезки были не параллельны - не было бы симметрии. обозначим MN - расстояние между AB и CD далее проще использовать тригонометрию обозначим половину угла О через [latex] \alpha [/latex] [latex]sin a= \frac{R-r}{R+r} [/latex] [latex] \frac{r}{OB}=tg \alpha \\ OB= \frac{r}{tg \alpha } \\ \frac{OM}{OB}=cos \alpha \\ OM=OB*cos \alpha [/latex] [latex] \frac{R}{OD}=tg \alpha \\ OD= \frac{R}{tg \alpha } \\ \frac{ON}{OD}=cos \alpha \\ ON=OD*cos \alpha [/latex] [latex]OM=r* \frac{cos \alpha }{tg \alpha } = \frac{rcos^2 \alpha }{sin \alpha } \\ ON=R* \frac{cos \alpha }{tg \alpha } = \frac{Rcos^2 \alpha }{sin \alpha } [/latex] [latex]OM=r* \frac{cos \alpha }{tg \alpha } = \frac{rcos^2 \alpha }{sin \alpha } \\ ON-OM=(R-r) \frac{cos^2 \alpha }{sin \alpha } =(R-r) \frac{1-sin^2 \alpha }{sin \alpha } [/latex] [latex]ON-OM=(R-r) \frac{1- ( \frac{R-r}{R+r} )^{2} }{( \frac{R-r}{R+r} ) }= \frac{2r*2R}{R+r} = \frac{4rR}{R+r} [/latex] [latex]ON-OM=\frac{4rR}{R+r}= \frac{4*15*21}{21+15} = \frac{1260}{36} =35 [/latex] Ответ: 35