Олимпиада по математике 11 класс
Олимпиада по математике 11 классПомогите решить хоть некоторые задания из олимпиады по математике. Или хотя бы подскажите, как делать.
1. Является ли число 1(2008 нулей)1 простым
2. Внутри треугольника ABC выбрана точка М так, что треугольники АМВ, ВМС и АМС - равновеликие. Докажите, что точка М - точка пересечения медиан треугольника.
3. Докажи, что в кубе с серебром объемом 2008 мл можно вырезать сквозное отверстие, в которое может пройти куб тех же размеров.
4. Имеется 2008 камней. Максим произвольно разбивает имеющиеся кани на 3 кучки, а затем они со Станиславом играют в следующую игру: Каждым ходом разрешается взять любое число камешком из какой-либо кучки, либо любое одинаковое число камешков из двух любых кучек сразу. Проигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выиграет, если первый ход делает Станислав?
1. Является ли число 1(2008 нулей)1 простым
2. Внутри треугольника ABC выбрана точка М так, что треугольники АМВ, ВМС и АМС - равновеликие. Докажите, что точка М - точка пересечения медиан треугольника.
3. Докажи, что в кубе с серебром объемом 2008 мл можно вырезать сквозное отверстие, в которое может пройти куб тех же размеров.
4. Имеется 2008 камней. Максим произвольно разбивает имеющиеся кани на 3 кучки, а затем они со Станиславом играют в следующую игру: Каждым ходом разрешается взять любое число камешком из какой-либо кучки, либо любое одинаковое число камешков из двух любых кучек сразу. Проигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выиграет, если первый ход делает Станислав?
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гостьзадача 1 это число делится на 11, то есть составное доказать можно используя признак или следующее рассуждение 1000...0001=1000...000+1=10·(100...000-1)+11=10·99...999+11 в числе 99...999 будет 2008 девяток, его можно представить как 99·10101...101, то есть оно делится на 11, следовательно в данном случае число 1000...0001=10·99...999+11 делится на 11 задача 2. отношение площадей AMB/BMC = отношению AD/DC, где D — точка пересечения прямых BM и AC. По условию это отношение равно 1, следовательно D — середина AC, следовательно, прямая BM — медиана. Аналогично для AM, CM задача 3. пусть изначально куб ориентирован по осям координат. смотрим на него с направления, заданного вектором (1,1,1), в проекции получается шестиугольник, в который вполне проходит квадрат 1x1 задача 4. без перебора, по-видимому, не решается
Гость1) нет не является ибо 10^2009+1=(10+1)(10^2008-10^2007+10^2006+...1) делится на 11
Гостьда, это число не делится ни на два, ни на три и ни на десять!
Не нашли ответ?
Похожие вопросы