Основанием треугольной пирамиды является прямоугольный треугольник со сторонами 3 м , 4 м и 5 м . Найдите углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды , если все боковые ребра пирамиды равны 12 м .

Нужно найти в основании точку, являющуюся центром описанной окружности. Это будет точка H. Тогда PH - высота пирамиды, где P - вершина пирамиды (ABC - другие три вершины) . Действительно, треугольники PAH, PBH, PCH прямоугольны и равны по двум сторонам (PH - общая сторона, AP = BP = CP), тогда из равенства треугольников получаем, что AH = BH = CH, то есть H равноудалена от вершин треугольника ABC, значит H - центр описанной окружности. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Тогда искомые углы PAH, PBH, PCH. Считаем, что AB - гипотенуза. В треугольнике PAH: PHA = 90, AH = 1/2 * AB = 5/2, AP = 12. Тогда cos PAH = 2,5/12 = 0,2083 => PAH = arccos 0,2083 = 78 градусов Аналогично PBH = 78 градусов. S ABC = 1/2 * AC * BC = 1/2 * CH * AB => 3 * 4 = CH * 5 => CH = 12/5. В треугольнике PCH: PHC = 90, PC = 12, CH = 12/5. cos PCH = (12/5)/12 = 1/5 = 0,2 PCH = arccos 0,2 = 78,5 Ответ: PAH = PBH = 78, PCH = 78,5