Периметр прямоугольного треугольника АВС (∠С = ) равен 72 см, а разность между длинами медианы СК и высоты СМ равна 7 см. Найдите длину гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузе. Обозначим медиану за с, гипотенузу за 2с, катеты за а и в. Высота, проведенная к гипотенузе по условию с-7 (высота меньше медианы по неравенству Коши). Площадь прямоугольного треугольника равна 1/2*а*в - через катеты,  1/2*2c*(c-7)=c*(c-7) - через гипотенузу и высоту. Тогда  с*(с-7)=1/2*ав 2ав=4с*(с-7) По теореме Пифагора а^2+в^2=4с^2 (В нашей задаче гипотенуза равна 2с)  а^2+в^2+2ав-2ав=4с^2  (а+в)^2-2ав=4с^2  По условию а+в+2с=72 а+в=72-2с Подставляя то , что нашли ранее,  в преобразованную нами теорему Пифагора, получим: (72-2с)^2-4с*(с-7)=4с^2 72^2-288с+4с^2-4с^2+28с=4с^2   4с^2+260с-72^2=0 Поделим обе части уравнения на 4: с^2+65с-1296=0  Это квадратное уравнение с корнями -162 и 16.  Корень -162 не подходит (длина медианы не может быть отрицательным числом). Следовательно, медиана равна 16, а гипотенуза 32.  Ответ: 32.