По кругу было записано пять целых чисел. Для каждого из чисел посчитали сумму двух соседних с ним чисел. Затем данные пять чисел заменили найденными суммами. С полученными числами повторяли такие же преобразования еще три раза....

Пусть по кругу были записаны числа a,b,c,d,e. Тогда после применения операции из условия получатся числа b+e, a+c, b+d, c+e, a+d. Сумма новых чисел будет вдвое больше суммы начальных чисел. Ясно, что если проделать эту операцию четыре раза, то сумма полученных чисел вырастет (или уменьшится, если была отрицательной) в 2⁴=16 раз. Но сумма конечных чисел равна 170 и не делится на 16. Поскольку изначально все числа были целыми и их сумма была целой, это не возможно. Получили противоречие, а значит, указанных в условии чисел получиться не могло. Ответ: нет, не могло.