Под каким углом к горизонту надо бросить шарик чтобы: а) радиус кривизны начала его траектории был в 8 раз шире, чем в вершине. б) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности.

Пусть R0-радиус кривизны траектории в начале движения. R0=v0^2/an0, где v0 - начальная скорость, an = g*sin(alpha) -нормальное ускорение. R1 - рад кривизны в верхней точки траектории. R1 = v^2/an v=vx=v0*sin(alpha), так как в верхней точке vy=0 an=g в верхней точке. R0/R1=8 по условию => sin (alpha) = 1/2 => alpha = 30 градусов.   Центр кривизны вершины находится на земной поверхности => R1=H   H  = (v0^2*(sin(alpha))^2)/g   - макс высота подъёма приравняв, получим, что  центр кривинны траектории лежит на поверхности при любом (!) угле.    

а) Радиус кривизны связан со скоростью и нормальным ускорением: R = V^2 /an. Для начала движения: R1 = V^2 /(gcosx),  где х - искомый угол бросания (к горизонтали). Для верхней точки траектории: R2 = V^2 *cos^2(x) / g.  Применим условие: R1/R2 = 1/cos^3(x) = 8 Отсюда cosx = 1/2    x = 60град б)  Условие для этого пункта: R2 = H - высота подъема R2 = V^2 *cos^2(x) / g. H = V^2 *sin^2(x) /2g Приравняв, получим: cos^2(x) = sin^2(x) /2 tgx = кор2     х = arctg (кор2)