Положительные числа a, b, с таковы, что abc =1. Докажите неравенство [latex] \frac{1}{a^{3}(b + c)} + \frac{1}{ b^{3}(a+c)} + \frac{1}{ c^{3} (b +a)} \geq \frac{3}{2} [/latex]

  [latex]abc=1\\ \frac{1}{a^3(b+c)} + \frac{1}{b^3(a+c)} + \frac{1}{c^3(b+a)} \geq \frac{3}{2}\\\\ [/latex]  После приведения под общим  знаменатель,получим                      [latex]\frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+a^2b^2c^2+b^3c^3)}{a^3b^3c^3(a+b)(a+c)(b+c)} = \\\\ abc=1\\\\ \frac{(ab+ac+bc)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3+1)}{ (a+b)(a+c)(b+c)} [/latex]     Теперь по неравенству о средних получим   [latex]\frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^6b^6c^6}=a^2b^2c^2=1[/latex]  то есть [latex]a^3b^3+a^3c^3+c^3b^3 \geq 3[/latex] с учетом того что [latex] a>0;b>0;c>0[/latex]  Так же            [latex](a+b)(b+c)(a+c)=a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2+2\\ \frac{a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2}{6} \geq 1\\ a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2 \geq 6[/latex]  И включая [latex]\frac{(ab+bc+ac)*4}{8} \geq \frac{3}{2}\\ \frac{ab+bc+ac}{2} \geq \frac{3}{2}[/latex]   прихожим к более легкому неравенству   [latex]ab+bc+ac \geq 3\\ \frac{ab+bc+ac}{3} \geq 1 \\ \frac{ab+bc+ac}{3} \geq \sqrt[3]{a^2b^2c^2}=1[/latex]    то есть минимальное значение это [latex]\frac{3}{2}[/latex]  Что и требовалось  доказать