Помогите построить график пожалуйста Построить график функции y = (2x^2+1)/x^2 по следующему алгоритму: 1) Область определения функции 2) Непрерывность функции и её четность(lim y =? при x- больше +- ∞) 3) Пересечение с ося...

Дано: [latex] y = \frac{2x^2+1}{x^2} [/latex] ; Исследовать функцию и построить график. Решение: 1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 . D(f) ≡ R \ {0} ≡ [latex] ( -\infty ; 0 )U( 0 ; +\infty ) [/latex] ; 2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это: [latex] y(-x) = \frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = \frac{2x^2+1}{x^2} = y(x) [/latex] ; Найдём первую производную функции y(x) : [latex] y'(x) = ( \frac{2x^2+1}{x^2} )' = ( \frac{ 2x^2 }{x^2} + \frac{1}{x^2} )' = ( 2 + x^{-2} )' = -2 x^{-3} [/latex] ; [latex] y'(x) = -\frac{2}{x^3} [/latex] ; При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля. 3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать: [latex] \lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 2 + \infty = +\infty [/latex] ; Если приравнять функцию к нолю, получим: [latex] y(x) = 0 [/latex] ; [latex] \frac{2x^2+1}{x^2} = 0 [/latex] ; [latex] 2 + \frac{1}{x^2} = 0 [/latex] ; [latex] ( \frac{1}{x} )^2 = -2 [/latex] – что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента; Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет. 4. Найдем асимптоты y(x). По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) . Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ± [latex] \infty [/latex] : [latex] \lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2 [/latex] ; Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ; Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон. 5. Первая производная функции y(x) : [latex] y'(x) = -\frac{2}{x^3} [/latex] – положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ; Значит, функция возрастает на [latex] ( -\infty ; 0 ) [/latex] и убывает на [latex] ( 0 ; +\infty ) [/latex] ; Уравнение [latex] y'(x) = 0 [/latex] т.е. [latex] y'(x) = -\frac{2}{x^3} [/latex] – не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов. 6. Найдём вторую производную функции y(x) : [latex] y''(x) = (y'(x))' = ( -\frac{2}{x^3} )' = -2 ( x^{-3} )' = -2*(-3)*x^{-4} [/latex] ; [latex] y''(x) = \frac{6}{x^4} > 0 [/latex] при любых значениях аргумента ; В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо. Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно. 7. При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ; При х = ± 2 : : : y(x) = 3.25 ; При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ; Строим график: