Помогите, пожалуйста, решить комбинированный №15 из ЕГЭ по математике (бывш. С3)Ответ [latex]3/4\ \textless \ x \leq 7[/latex]

*Не думаю что это решение лучшее, но другого я просто не увидел. Найдем ОДЗ: [latex]4x-3 \ \textgreater \ 0[/latex] [latex]x \ \textgreater \ \frac{3}{4}[/latex] Исходя из данных ограничений, можно открыть модуль и переписать неравенство в другом виде: [latex] \frac{{x^3-8+6x(2-x)} }{4x-3} \leq (4x-3)^{1/2}[/latex] Числитель дроби можно преобразовать: [latex]x^3-8+6x(2-x)=(x-2)(x^2+2x+4-6x)=(x-2)^3[/latex] Таким образом мы пришли к этому: [latex]\frac{(x-2)^3}{4x-3} \leq (4x-3)^{1/2}[/latex] Перенесем все в одну часть, внесем под один знаменатель: [latex]\frac{(x-2)^3-((4x-3)^{1/2})^3}{4x-3} \leq 0[/latex] Раскроем числитель как разность кубов: [latex]\frac{((x-2)- \sqrt{4x-3})((x-2)^2-(x-2)\sqrt{4x-3}+4x-3)}{4x-3} \leq 0[/latex] Попробуем решить это неравенство методом интервалов, т.е. для начала найдем нули функции: 1) [latex](x-2)- \sqrt{4x-3}=0[/latex] [latex] \left \{ {{(4x-3)=(x-2)^2} \atop {x \geq 2}} \right. [/latex] Единственное решение [latex]x=7[/latex] (и второе решение не влияет на знак неравенства, положительно) 2) [latex](x-2)^2-(x-2)\sqrt{4x-3}+4x-3=0[/latex] [latex] \left \{ {{4x-3=(x-2)^2+2(x-2) \frac{4x-3}{x-2} +(\frac{4x-3}{x-2})^2} \atop {(x-2)+\frac{4x-3}{x-2} \geq 0}} \right. [/latex] После частичного упрощения верхнего уравнения системы получим: [latex] \left \{ {{-x^2-1=(\frac{4x-3}{x-2})^2} \atop {x\geq 2}} \right. [/latex] Дальше решать смысла нет, т.к. верхнее уравнение не будет иметь решений (левая часть равенства всегда отрицательна, правая - положительна) Одновременно с этим знак выражения [latex](x-2)^2-(x-2)\sqrt{4x-3}+4x-3[/latex] на допустимом (ОДЗ) интервале всегда положителен, поэтому оно никак не влияет на знак неравенства.* Тогда все наше первоначальное неравенство эквивалентно данному: [latex] \frac{x-7}{4x-3} \leq 0[/latex] Его решением и будет являться (с учетом ОДЗ) [latex] \frac{3}{4} \ \textless \ x \leq 7[/latex] * Можно обосновать так: [latex]a^2-ab+b^2= \ \textgreater \ (\frac{a}{b} )^2-(\frac{a}{b})+1[/latex] (в нашем случае уместно) [latex]D\ \textless \ 0[/latex], коэффициент при числе в квадрате положителен, значит и все значения функции на интервале ОДЗ положительны.