Помогите, пожалуйста, вычислить: limx→0 (cosx)^(4*ctg²(x))

[latex] \lim_{x \to 0} cos^{4ctg^{2}x}x [/latex] [latex] \lim_{x \to 0} e^{ln(cos^{4ctg^{2}x}x)}[/latex] [latex]e^{ln(cos^{4ctg^{2}x}x)}=exp (4ctg^{2}xln(cosx)[/latex] exp = экспонента [latex] \lim_{x \to 0} exp(4ctg^{2}xln(cosx)) [/latex] [latex] \lim_{x \to 0} e^{4ctg^{2}xln(cosx)}=e^{ \lim_{x \to 0} 4ctg^{2}xln(cosx) }[/latex] [latex] \lim_{x \to 0} 4ctg^{2}xln(cosx)=4 \lim_{x \to 0} ctg^{2}xln(cosx): [/latex] [latex]e^{4 \lim_{x \to 0} ctg^{2}xln(cosx)}[/latex] Дальше по правилу Лопиталя: [latex]e^{4 \lim_{x \to 0} \frac{ln(cosx)}{ \frac{1}{ctg^{2}x} } }[/latex] [latex]\lim_{x \to 0} \frac{ln(cosx)}{ \frac{1}{ctg^{2}x} } = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{dln(cosx)}{dx} }{ \frac{d}{dx ctg^{2}x} } = \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{sinx}{cosx} }{ \frac{2csc^{2}x}{ctg^{3}x} }= [/latex] [latex]= \lim_{x \to 0} -\frac{ctg^{3}xsinx}{2cos(x)csc^{2}x} [/latex] [latex]e^{4 \lim_{x \to 0} - \frac{ctg^{3}xsinx}{2cos(x)csc^{2}x} }[/latex] [latex] \lim_{x \to 0} - \frac{ctg^{3}xsinx}{2cosx*csc^{2}x}=- \frac{1}{2} [/latex] [latex]e^{- \frac{1}{2}*4 \lim_{x \to 0} \frac{ctg^{3}xsins}{cosx*csc^{2}x} }[/latex] [latex]ctgx= \frac{cosx}{sinx} [/latex] [latex]cscx= \frac{1}{sinx} [/latex] [latex] \frac{ctg^{3}xsinx}{cosx*csc^{2}x}=cos^{2}x [/latex] [latex]e^{ -\frac{4 \lim_{x \to 0} cos^{2}x }{2} }[/latex] [latex] \lim_{x \to 0} cos^{2}x=cos^{2}(0)=1[/latex] [latex]e^{- \frac{1}{2}*4 }= \frac{1}{e^{2}} [/latex]