Помогите решить сложную систему(или хотя бы наведите на мысль)! 99 балов Система из трех уравнений записсанных ниже[latex] \frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{6}{5} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x+z} = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{z}...
Помогите решить сложную систему(или хотя бы наведите на мысль)! 99 балов
Система из трех уравнений записсанных ниже
[latex]
\frac{1}{x} + \frac{1}{y+z} = \frac{6}{5} \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{x+z} = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y+x} = \frac{2}{3} \\
[/latex]
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость[latex]\begin{cases} & \text{ } \frac{1}{x}+ \frac{1}{y+z}= \frac{6}{5}|\cdot 5x(y+z) \\ & \text{ } \frac{1}{y}+ \frac{1}{x+z}= \frac{3}{4}|\cdot4y(x+z)\\ &\text{ } \frac{1}{z} + \frac{1}{y+x} = \frac{2}{3}|\cdot3z(y+x) \end{cases}\\ \\ \begin{cases} & \text{ } 6xy+6xz-5x-5y-5z=0 \\ & \text{ } 3xy+3yz-4x-4y-4z=0 \\ & \text{ } 2xz+2yz-3x-3y-3z=0 \end{cases}\,\,\,\,\Rightarrow [/latex]
[latex]\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } (6y+6z-5)x-5y-5z=0 \\ & \text{ } ............ \\ & \text{ } ......... \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x= \frac{5y+5z}{6y+6z-5} \\ & \text{ } ............. \\ & \text{ } ............... \end{cases}[/latex]
[latex]\begin{cases} & \text{ } 3\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5}+3yz-4\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5} -4y-4z=0 \\ & \text{ } 2\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5} +2yz-3\cdot \frac{5y+5z}{6y+6z-5} -3y-3x=0 \end{cases}[/latex]
Упростив, получаем систему
[latex]\begin{cases} & \text{ } \frac{6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2}{6y+6z-5} =0 \\ & \text{ } \frac{6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2}{6y+6z-5} =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } 6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2=0 \\ & \text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 \end{cases}[/latex]
[latex]\begin{cases} & \text{ } 6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2-6y^2z-6yz^2+9y^2+18yz+4z^2=0 \\ & \text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 \end{cases}[/latex]
[latex]\begin{cases} & \text{ } 6y^2+2yz-4z^2=0 \\ & \text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 \,\,\,\,\,(*)\end{cases}[/latex]
Решим первое уравнение
[latex]6y^2+2yz-4z^2=0|:2z^2\\ 3\cdot(\frac{y}{z} )^2+\frac{y}{z}-2=0[/latex]
Пусть [latex]\frac{y}{z}=t[/latex], тогда
[latex]3t^2+t-2=0\\ D=1+24=25\\ t_1=-1\\ t_2= \frac{2}{3} [/latex]
Возвращаемся к замене
[latex]y=-z\\ y= \frac{2}{3} z[/latex]
Подставим переменные у в уравнение (*)
Если [latex]y=-z[/latex], тогда
[latex]6z^3-6z^3-9z^2+18z^2-4z^2=0\\ 5z^2=0\\ z=0[/latex]
Дальше искать значения [latex]x,y[/latex] нет смысла, т.к. z=0 и если подставить в уравнение, то знаменатель дроби обращается в 0.
Если [latex]y= \frac{2}{3}z [/latex]
[latex]8z^3+12z^3-12z^2-48z^2=0\\ 20z^3-60z^2=0\\ 20z^2(z-3)=0\\ z=3\\ x=1\\y=2[/latex]
Ответ: [latex](1;2;3)[/latex]
ГостьСделаем замену y=ux, z=vx. Получим
1+1/(u+v)=6x/5
1/u+1/(1+v)=3x/4
1/v+1/(1+u)=2x/3
Приводим к общему знам. и делим 1-ое ур-е на 2-ое и 1-ое на 3-е:
u(1+v)/(u+v)=8/5
v(1+u)/(u+v)=9/5
Отсюда u+uv=8(u+v)/5 и v+uv=9(u+v)/5. Вычитаем из 2-го 1-ое:
v-u=(u+v)/5, откуда v=3u/2. Подставляем обратно в 1-ое:
u(1+3u/2)/(u+3u/2)=8/5, откуда u=2, v=3. Все это в исходную замену:
1+1/5=6x/5. Значит х=1, у=2, z=3.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы