Последовательность  [latex](a_n)[/latex]  задана таким образом:[latex]a_1=1;\ \ \ a_{n+m}=a_n+a_m+nm[/latex]где m и n - натуральные числа.Тогда  [latex]a_{10}[/latex]  равно?

Здесь нужно еще понять то что какие могут быть числа [latex]n;m[/latex] , так как мы можем выражать последующий член разными способами  очевидно что [latex]a_{0}=0[/latex] , так как существует такой вид представления элемента [latex]a_{1}=a_{1+0}=a_{1}+a_{0}+1*0=1 \ => a_{0}=0[/latex]  выразить [latex]a_{2} ;\\ a_{2+0}=a_{2}+a_{0}+0=a_{2}\\ a_{1+1}=a_{1}+a_{1}+1=3[/latex] глядя на первый вариант ,мы не можем дальше вычислить [latex]a_{2}[/latex]  ,  на счет второго , продолжая  [latex]a_{3+0}=a_{3}\\ a_{2+1}=a_{2}+a_{1}+2=6\\ \\ [/latex] то есть дальше рассматривать вариант  вида [latex] a_{n+0}[/latex] не надо  [latex]a_{3+1}=a_{3}+a_{1}+3=10\\ a_{2+2}=a_{2}+a_{2}+4=10 [/latex] равны  так продолжая каждые варианты будут равны друг другу, видно что   [latex] a_{10}=55[/latex]