Прості числа p q r такі що р+q+pq ділиться на r р+r+pr ділиться на q q+r+rq ділиться на р доведіть що p=q=r

[latex]p,q ; r \in P \\ \frac{p+q+pq}{r}=x\\ \frac{p+r+rp}{q}=y\\ \frac{q+r+rq}{p}=z\\\\ [/latex]      Сложим       [latex]\frac{p^2(q^2+r^2+q+r)+p(q^2+r^2)+qr(qr+q+r)}{pqr}\\ \frac{ p^2((q+r)^2-2qr+q+r)+p((q+r)^2-2qr)+qr(qr+q+r)}{pqr}[/latex]    Заметим что   [latex]\frac{qr(qr+q+r)}{pqr}[/latex] делиться   [latex]\frac{p^2((q+r)^2-2qr+q+r)+p((q+r)^2-2qr)+qr(qr+q+r)}{pqr} \\ \frac{p^2(q+r)^2-2p^2qr+p^2(q+r)p+p(q+r)^2-2pqr}{pqr}=x+y\\\\ \frac{p^2(q+r)^2+p^2(q+r)+p(q+r)^2}{pqr}-2p-2=x+y\\ \frac{(q+r)(pr+r+pq+q+p )}{qr}=A\\\\ A \in N \\ \\ [/latex]   заметим что   [latex]q+r \geq \sqrt{2qr}[/latex] неравенство выполняется , тогда когда         [latex]q=r[/latex]     [latex]pr+r+pq+q+p =(p+1)(r+q)+p\\ \frac{2rq(p+1)p}{rq}=2p(p+1)[/latex]    Откуда     [latex]p=q=r[/latex]