Провести полное исследование и построить график указанной функции: [latex]y=x- \frac{8}{ x^{4} } [/latex]

1. Область определения функции:   Знаменатель не равно нулю, т.е. [latex]x\ne 0[/latex] [latex]D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)[/latex] 2. Проверим на четность. [latex]y(-x)=-x- \frac{8}{(-x)^4} =-(x+ \frac{8}{x^4})\ne y(x) [/latex] Итак, функция ни четная ни нечетная. 3. Не периодическая функция. 4. Точки пересечения с осью Ох и Оу  4.1. С осью Ох(у=0): [latex]x- \frac{8}{x^4}=0\\ x^5=8\\ x= \sqrt[5]{8} [/latex] 4.2. С осью Оу(х=0): [latex]y=0- \frac{8}{0^4}[/latex] Точки пересечения с осью Оу нет. 5. Критические точки, возрастание и убывание функции:  Производная функции [latex]y'=(x- \frac{8}{x^4})'=1+ \frac{32}{x^5} [/latex] Приравниваем производную функции к нулю  [latex]1+ \frac{32}{x^5} =0|\cdot x^5\\ x^5=-32\\ x=-2[/latex] ___+__(-2)___-___(0)___+___ Функция возрастает на промежутке [latex](-\infty;-2)[/latex] и [latex](0;+\infty)[/latex], а убывает на промежутке [latex]x\in (-2;0)[/latex]. В точке x=-2 - имеет локальный максимум 6. Точка перегиба [latex]y''=(1+ \frac{32}{x^5} )'=- \frac{160}{x^6} [/latex] очевидно, что нулей во второй производной нет, а значит точке перегиба нет. Горизонтальных асимптот нет Вертикальные асимптоты: [latex]x=0[/latex] Наклонные асимптоты: [latex] \lim_{x \to \infty} (x- \frac{8}{x^4} -x)=0[/latex] Тоесть наклонная асимптота [latex]y=x[/latex] Строим график