Прямая призма с квадратным основанием имеет такой же объём, как и шар с диаметром, равным высоте призмы. Найти отношение высоты призмы к стороне её основания.

Пусть H - высота призмы, а - сторона основания призмы, r - радиус шара. Объем призмы [latex]V{{_{np}}=a^2H[/latex] Объем шара [latex]V{{_{wap}}= \frac{4}{3} \pi r^3[/latex] По условию объемы шара и призмы равны, а также Н = 2r. [latex]a^2H=\frac{4}{3} \pi r^3[/latex] [latex]a^2*2r=\frac{4}{3} \pi r^3 \\ \frac{4r^2}{a^2} = \frac{6}{ \pi } \\ \frac{2r}{a} = \frac{\sqrt6}{ \sqrt{\pi} } \Longrightarrow \frac{H}{a} = \frac{\sqrt6}{ \sqrt{\pi} }[/latex] Ответ: [latex]\sqrt6:\sqrt \pi [/latex]