Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

Есть парабола, заданная функцией [latex]y= x^{2} -1[/latex].  Просто построй по точкам. Они такие: [latex](0;-1), (1;0), (-1;0),(2;3), (-2;3),(3;8),(-3;8),(4;15),(-4;15)[/latex] Есть точки [latex]M(-2;3)[/latex]  и  [latex]N(4;15)[/latex], которые составляют прямую MN и пересекают параболу. При построении всё будет видно. Теперь, собственно, чтобы найти точку пересечения касательных к параболе, нужно составить уравнения этих касательных, а потом их приравнять. Уравнение касательной:  [latex]y=f( x_{0} )+f'(x_{0})*(x-x_{0})[/latex] Рассмотрим первую точку [latex]M(-2;3)[/latex]:   Её [latex]x=-2[/latex] [latex]f(x_{0})=(-2)^{2}-1=3[/latex] [latex]f'(x_{0})=( x^{2} )'-(1)'=( x^{2} )'=2x[/latex] [latex]f'(x)=2*(-2)=-4[/latex]  Теперь составляем уравнение из полученного: [latex]y=3-4(x+2)=3-4x-8=-4x-5[/latex] [latex]y=-4x-5[/latex] Рассмотрим вторую точку [latex]N(4;15)[/latex]:    Её [latex]x=4[/latex] [latex]f(x_{0})=15[/latex] [latex]f'(x_{0})=2x[/latex] [latex]f'(x)=2*4=8[/latex] [latex]y=15+8(x-4)=15+8x-32=8x-17[/latex] [latex]y=8x-17[/latex] Теперь самое долгожданное: приравниваем полученные [latex]y[/latex]  : [latex]-4x-5=8x-17[/latex] [latex]12x=12[/latex] [latex]x=1[/latex] Подставляем полученный [latex]x[/latex]  в любое из уравнений: [latex]y=-4*1-5=-9[/latex] Ответ: [latex]K(1;-9)[/latex]