Пусть неотрицательные числа x, y, z связаны соотношением x+y+z=1. Докажите, что xy+yz+zx≤1/3.

x^2+y^2>=2xy (неравенство Коши - между среднем арифмитическим и средним геометрическим или из (x-y)^2>=, x^2-2xy+y^2>=0, x^2+y^2>=2xy ) y^2+z^2>=2xz x^2+z^2>=2xz сложив 2(x^2+y^2+z^2)>=2*(xy+yx+zx) сократив на 2 x^2+y^2+x^2>=xy+yx+zx       (*)   по формуле квадарата тричлена, и исполльзуя неравенство (*) (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+zy+zx)>=xy+xz+xz+2(xy+zx+xz)=3(xy+yz+zx)   подставляя данное условие 1^2>=3(xy+yz+zx) или 1>=3(xy+zx+zy) или xy+yz+zx≤1/3. что и требовалось доказать