Решить с объяснением:[latex] \sqrt[3]{x+5} + \sqrt[3]{x+6} = \sqrt[3]{2x+11} [/latex]

Красивое задание. Не  трудно убедится что корень  x=-11/2 Является решением подставим его. ∛(-11/2+5)+∛(-11/2+6)=∛-11+11 -1/∛2 +1/∛2=0 верно Теперь можно поделить обе части уравнения: на ∛(2x+11) Конечно в этом случае уравнение будет не совсем равносильным   в плане что мы теряем решение  2x+11=0 x=-11/2 Но  мы взяли на ус  что этот корень есть. Поэтому остальное  нам не важно.  Тк  остальные корни сохранились. ∛(x+5)/(2x+11) +∛(x+6)/(2x+11)=1 Сделаем замены:  ∛(x+5)/(2x+11)=a ∛(x+6)/(2x+11)=b Откуда  a+b=1 a^3+b^3=2x+11/2x+11=1 a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab ) тк (a+b)=1 a^2-ab+b^2=1 b=1-a a^2-a(1-a)+(1-a)^2=1 a^2-a+a^2+a^2-2a+1=1 3a^2-3a=0 a(a-1)=0 a=0 a=1 x+5=0 x=-5 x+5=1 x=-4 но этот корень не  подходит НО не будем забывать про симетрию выражения  откуда   и вылезла ошибка a^2+b^2-ab=0 Подставим a=b-1 То в  силу симетрии получим похожее уравнение: b^2-b=0 b(b-1)=0 то  x+6=0 x=-6 x+6=1 x=-5 Ответ: x=-5   x=-6  x=-11/2

[latex] \sqrt[3]{x+5} + \sqrt[3]{x+6} - \sqrt[3]{2x+11} =0[/latex] Пусть [latex] \sqrt[3]{x+6} =a;[/latex]  [latex] \sqrt[3]{x+5} =b[/latex]  [latex] \sqrt[3]{2x+11} =c[/latex] Имеем [latex]b+a-c=0[/latex] Каждое заменную подставим [latex] \left \{ {{\sqrt[3]{x+6 }=a} \atop { \sqrt[3]{x+5}=b }}\atop { \sqrt[3]{2x+11}=c} \right. \to \left \{ {{x+6=a^3} \atop {x+5=b^3}}\atop {2x+11=c^3}} \right. [/latex] Также выражаем а [latex]b+a-c=0\to a=-b+c[/latex] Подставим [latex] \left \{ {{x+6=(-b+c)^3} \atop {x+5=b^3}}\atop {2x+11=c^3}} \right. [/latex] Из уравнения 2 выразим переменную х [latex] \left \{ {{x+6=(-b+c)^3} \atop {x=b^3-5}}\atop {2x+11=c^3}\right. [/latex] Также подставим вместо х [latex] \left \{ {{(b^3-5)+6=(-b+c)^3} \atop {x=b^3-5}}\atop {2(b^3-5)+11=c^3} \right. \to \left \{ {{b^3+1=-(b-c)^3} \atop {2b^3+1=c^3}}\atop {x=b^3-5} \right. \to \left \{ {{2b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+1=0} \atop {x=b^3-5}}\atop {2b^3-c^3+1=0} \right. [/latex] Имеем [latex] \left \{ {{2b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+1-(2b^3-c^3+1)=0} \atop {x=b^3-5}}\atop {2b^3-c^3+1=0}\right. [/latex] Имеем уравнение [latex]-3b^2c+3bc^2=0 \\ -3*0c+0=0 \to2b \neq 0 \\ -3 \frac{c}{b} +3 (\frac{c}{b} )^2=0[/latex] Пусть [latex] \frac{c}{b} =t[/latex] [latex]-3t+3t^2=0|:(-3) \\ t(t-1)=0 \\ t_1=0 \\ t_2=1[/latex] Имеем что [latex] \left[\begin{array}{ccc}c=0;\\c=b\\b=0\end{array}\right[/latex] Если c=0 [latex]2b^3+1=0 \\ b^3=- \frac{1}{2} \\ b=- \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} \to x=(- \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} )^3-5= -\frac{11}{2} [/latex] Если c=b [latex]2b^3-c^3+1=0 \to 2c^3-c^3+1=0 \\ c^3+1=0 \\ c=-1 \\ x=c^3-5 \to x=-6[/latex] Если b=0 [latex]2*0-c^3+1=0 \\ -c^3+1 \to c=1 \\ x=-5[/latex] Ответ: [latex]x=- \frac{11}{2} ;x=-6;x=-5[/latex]