Решить систему уравнений logy(x)+logx(y)=2.5 x*y=27

x*y=27⇒x=27/y [latex] \log_{y}x+log_{x}y=2.5 [/latex] [latex]\ \frac{1}{log_{x}y}+log_{x}y-2.5=0[/latex] [latex]1+\log^2_{x}y-2.5log_{x}y=0[/latex] [latex]\log_{x}y=z[/latex] z²-2.5z+1=0 Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b² - 4ac = (-2.5)² - 4·1·1 = 6.25 - 4 = 2.25 Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня: z₁ = (2.5 - √2.25)/2·1 = (2.5 - 1.5)/2 = 1/2 = 0.5 z₂ = (2.5 + √2.25)/2·1 = (2.5 + 1.5)/2 = 4/2 = 2 учитывая подстановку [latex]\log_{x}y=z[/latex] [latex]\log_{x}y=0.5[/latex] или [latex]\log_{x}y=2[/latex] [latex]x^{0.5}=y [/latex] √x=y но х=27/у⇒у=√(27/у) у√у=√27 (при условии что √у≠0) √у³=27 у³=27 у₁=∛27=3 [latex]x^{2}=y [/latex] x²=y но х=27/у⇒у=(27/у)² у²у=27² (при условии что у²≠0) у³=729 у₂=∛729=9 x₁=27/3=9 x₂=27/9=3 ответ (9;3) и (3;9) решения системы уравнений