Решить уравнение:        (cosx + sinx)^2 = cos2x

[latex](cosx+sinx)^2=cos2x[/latex] [latex]cos^2x+2cosxsinx+sin^2x=cos2x[/latex] Вычтем [latex]cos2x[/latex] с обеих сторон: [latex]cos^2x-cos2x+2cosxsinx+sin^2x=0[/latex] Упростим: [latex]2 \sqrt{2} sinxsin( \frac{ \pi }{4} +x)=0[/latex] Делим обе части уравнения на [latex]2 \sqrt{2} [/latex]: [latex]sinx*sin( \frac{ \pi }{4}+x)=0 [/latex] Получаем два решения: sin(x)=0                           sin(π/4  +x)=0 x=πn; n∈Z                       π/4 +x=πn; n∈Z                                        x=πn- π/4; n∈Z

[latex](cosx+sinx)^2=cos2x \\ cos^2x+sin^2x+2sinx*cosx=cos^2x-sin^2x \\ 2sin^2x+2sinx*cosx=0 \\ 2sinx(sinx+cosx)=0 \\ 2sinx=0 \\ sinx=0 \\ x_1=(-1)^k*arcsin0+ \pi k \\ x_1= \pi k \\ sinx+cosx=0|:cosx \\ \frac{sinx}{cosx} +1=0 \\ tgx+1=0 \\ tgx=-1 \\ x_2=arctg(-1)+ \pi n \\ x_2=- \frac{ \pi }{4} + \pi n[/latex]